基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題29 解説
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解説
方針・初手
点 $P,Q$ はそれぞれ直線 $OA,OB$ 上にあるので、直線上の点を媒介変数で表し、垂線条件を内積が $0$ であることとして処理する。
四面体 $OPQC$ の体積は、$O$ を原点として
$$ \frac{1}{6}\left|\det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OC})\right|
$$
で求めればよい。
解法1
まず
$$ \overrightarrow{OA}=(2,1,0),\quad \overrightarrow{OB}=(1,3,0),\quad \overrightarrow{OC}=(3,3,2)
$$
である。
点 $P$ の座標
点 $P$ は直線 $OA$ 上にあるから、実数 $t$ を用いて
$$ P=t\overrightarrow{OA}=(2t,t,0)
$$
とおける。
また、$CP$ は直線 $OA$ に垂直であるから、
$$ \overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{OA}=0
$$
が成り立つ。
ここで
$$ \overrightarrow{CP}=P-C=(2t-3,t-3,-2)
$$
であるから、
$$ (2t-3,t-3,-2)\cdot(2,1,0)=0
$$
より
$$ 2(2t-3)+(t-3)=0
$$
となる。したがって
$$ 5t-9=0
$$
より
$$ t=\frac{9}{5}
$$
である。
よって
$$ P=\left(\frac{18}{5},\frac{9}{5},0\right)
$$
である。
点 $Q$ の座標
点 $Q$ は直線 $OB$ 上にあるから、実数 $s$ を用いて
$$ Q=s\overrightarrow{OB}=(s,3s,0)
$$
とおける。
また、$CQ$ は直線 $OB$ に垂直であるから、
$$ \overrightarrow{CQ}\cdot \overrightarrow{OB}=0
$$
が成り立つ。
ここで
$$ \overrightarrow{CQ}=Q-C=(s-3,3s-3,-2)
$$
であるから、
$$ (s-3,3s-3,-2)\cdot(1,3,0)=0
$$
より
$$ (s-3)+3(3s-3)=0
$$
となる。したがって
$$ 10s-12=0
$$
より
$$ s=\frac{6}{5}
$$
である。
よって
$$ Q=\left(\frac{6}{5},\frac{18}{5},0\right)
$$
である。
次に、四面体 $OPQC$ の体積を求める。$O$ は原点であるから、
$$ V=\frac{1}{6}\left|\det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OC})\right|
$$
である。
ここで
$$ \overrightarrow{OP}=\left(\frac{18}{5},\frac{9}{5},0\right),\quad \overrightarrow{OQ}=\left(\frac{6}{5},\frac{18}{5},0\right),\quad \overrightarrow{OC}=(3,3,2)
$$
である。
したがって
$$ \det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OC}) = \begin{vmatrix} \frac{18}{5} & \frac{6}{5} & 3\\ \frac{9}{5} & \frac{18}{5} & 3\\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}
$$
である。第 $3$ 行で展開すると、
$$ \begin{aligned} \det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OC}) &= 2\begin{vmatrix} \frac{18}{5} & \frac{6}{5}\\ \frac{9}{5} & \frac{18}{5} \end{vmatrix}\\ &= 2\left(\frac{18}{5}\cdot\frac{18}{5}-\frac{6}{5}\cdot\frac{9}{5}\right)\\ &= 2\left(\frac{324}{25}-\frac{54}{25}\right)\\ &= 2\cdot\frac{270}{25}\\ &= \frac{108}{5} \end{aligned}
$$
である。
よって、四面体 $OPQC$ の体積は
$$ V=\frac{1}{6}\cdot\frac{108}{5}=\frac{18}{5}
$$
である。
解説
垂線の足を求める問題では、直線上の点を媒介変数で表し、「垂直」を内積 $0$ に直すのが基本である。
この問題では $OA,OB$ がともに $xy$ 平面上にあり、点 $P,Q$ も $xy$ 平面上にある。したがって三角形 $OPQ$ を底面と見れば、点 $C$ から $xy$ 平面までの高さは $2$ である。この見方を使っても体積を求められるが、行列式を使うと座標計算として一貫して処理できる。
答え
**(1)**
$$ P=\left(\frac{18}{5},\frac{9}{5},0\right),\quad Q=\left(\frac{6}{5},\frac{18}{5},0\right)
$$
**(2)**
$$ \frac{18}{5}
$$