基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題31 解説
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解説
方針・初手
平面 $\alpha$ は、2つのベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を含む。したがって、まずこれらの外積から法線ベクトルを求め、平面の方程式を作る。
後半は、$\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AB}$ かつ $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AC}$ より、$\overrightarrow{AD}$ が平面 $\alpha$ の法線方向であることを用いる。
解法1
まず、
$$ \overrightarrow{AB}=B-A=(-2,0,1),\qquad \overrightarrow{AC}=C-A=(1,2,3)
$$
である。
平面 $\alpha$ の法線ベクトルは $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ で与えられるから、
$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ -2 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} =(-2,7,-4)
$$
である。
したがって、平面 $\alpha$ の方程式は、点 $A(1,0,1)$ を通り、法線ベクトル $(-2,7,-4)$ をもつので、
$$ -2(x-1)+7(y-0)-4(z-1)=0
$$
すなわち、
$$ -2x+7y-4z+6=0
$$
である。
点 $P(4,2,s)$ が $\alpha$ 上にあるから、
$$ -2\cdot 4+7\cdot 2-4s+6=0
$$
より、
$$ -8+14-4s+6=0
$$
したがって、
$$ 12-4s=0
$$
となるので、
$$ s=3
$$
である。
次に、$D$ は $yz$ 平面上の点であるから、
$$ D=(0,y,z)
$$
とおける。
このとき、
$$ \overrightarrow{AD}=D-A=(-1,y,z-1)
$$
である。
条件 $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AB}$ より、
$$ \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=0
$$
であるから、
$$ (-1,y,z-1)\cdot(-2,0,1)=0
$$
すなわち、
$$ 2+z-1=0
$$
より、
$$ z=-1
$$
である。
また、条件 $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AC}$ より、
$$ \overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=0
$$
であるから、
$$ (-1,y,z-1)\cdot(1,2,3)=0
$$
すなわち、
$$ -1+2y+3(z-1)=0
$$
である。整理すると、
$$ 2y+3z-4=0
$$
となる。ここに $z=-1$ を代入して、
$$ 2y-3-4=0
$$
より、
$$ y=\frac{7}{2}
$$
である。
したがって、
$$ D=\left(0,\frac{7}{2},-1\right)
$$
であり、
$$ \overrightarrow{AD} = \left(-1,\frac{7}{2},-2\right)
$$
である。
よって、
$$ |AD| = \sqrt{(-1)^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2+(-2)^2}
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} |AD| &= \sqrt{1+\frac{49}{4}+4}\\ &= \sqrt{\frac{69}{4}}\\ &= \frac{\sqrt{69}}{2} \end{aligned} $$
となる。
解法2
$\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AB}$ かつ $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AC}$ であるから、$\overrightarrow{AD}$ は平面 $\alpha$ の法線方向である。
解法1より、平面 $\alpha$ の法線ベクトルは
$$ (-2,7,-4)
$$
である。
したがって、点 $D$ は直線
$$ D=A+t(-2,7,-4)
$$
上にある。
つまり、
$$ D=(1,0,1)+t(-2,7,-4) = (1-2t,7t,1-4t)
$$
である。
$D$ は $yz$ 平面上の点なので、$x$ 座標が $0$ である。よって、
$$ 1-2t=0
$$
より、
$$ t=\frac{1}{2}
$$
である。
したがって、
$$ D= \left(0,\frac{7}{2},-1\right)
$$
である。
また、
$$ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(-2,7,-4)
$$
だから、
$$ |AD| = \frac{1}{2}\sqrt{(-2)^2+7^2+(-4)^2}
$$
である。
よって、
$$ \begin{aligned} |AD| &= \frac{1}{2}\sqrt{4+49+16}\\ &= \frac{\sqrt{69}}{2} \end{aligned} $$
となる。
解説
平面の問題では、平面上の2つの方向ベクトルを作り、それらに垂直な法線ベクトルを求めるのが基本である。
前半は、法線ベクトルから平面の方程式を作り、点 $P(4,2,s)$ を代入すればよい。
後半では、$\overrightarrow{AD}$ が $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直であることから、$\overrightarrow{AD}$ が平面 $\alpha$ の法線方向であると見ると処理が速い。$D$ が $yz$ 平面上にあることは、$x$ 座標が $0$ であるという条件に置き換える。
答え
$$ s=3
$$
$$ |AD|=\frac{\sqrt{69}}{2}
$$