基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題35 解説
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解説
方針・初手
4点が同一平面上にあるためには、まず $A,B,C$ を通る平面の方程式を求め、その平面上に $D$ がある条件を使えばよい。
解法1
点 $A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)$ を通る平面を
$$ ax+by+cz=d
$$
とおく。
点 $A(1,0,0)$ を通るので、
$$ a=d
$$
点 $B(0,1,0)$ を通るので、
$$ b=d
$$
点 $C(0,0,1)$ を通るので、
$$ c=d
$$
したがって、$a=b=c=d$ である。$d\neq 0$ として両辺を $d$ で割ると、平面の方程式は
$$ x+y+z=1
$$
である。
点 $D(3,-5,z)$ もこの平面上にあるから、
$$ 3+(-5)+z=1
$$
よって、
$$ -2+z=1
$$
より、
$$ z=3
$$
である。
解法2
$A,B,C,D$ が同一平面上にあることは、3つのベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ が一次従属であることと同値である。
それぞれ
$$ \overrightarrow{AB}=(-1,1,0),\quad \overrightarrow{AC}=(-1,0,1),\quad \overrightarrow{AD}=(2,-5,z)
$$
である。
これらが一次従属であるためには、行列式が $0$ になればよい。
$$ \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & z \end{vmatrix} =0
$$
これを計算すると、
$$ (-1)(0\cdot z-1\cdot(-5))-1((-1)\cdot z-1\cdot 2)=0
$$
したがって、
$$ -5-(-z-2)=0
$$
すなわち、
$$ z-3=0
$$
より、
$$ z=3
$$
である。
解説
この問題では、$A,B,C$ が座標軸上の点であり、いずれも座標の和が $1$ であることに着目すると、平面の方程式 $x+y+z=1$ がすぐに得られる。
ベクトルや行列式でも解けるが、この問題では平面の方程式を使う解法が最も短い。特に、点 $A,B,C$ の形から平面を素早く見抜くことが重要である。
答え
$$ \boxed{3}
$$