解説

方針・初手

点 $P$ の動く範囲は三角形 $ABC$、点 $Q$ の動く範囲は中心 $(0,0,4)$、半径 $2$ の球である。

線分 $PQ$ の中点 $M$ は

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OP} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OQ}

$$

で表される。したがって、三角形側は $1/2$ 倍され、球側は半径が $1$ になって加わる、という見方をする。

解法1

**(1)**

点 $P$ が三角形 $ABC$ の周または内部にあるとき、ある実数 $s,t$ を用いて

$$ \overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}

$$

と表せる。ただし、$P$ が三角形の周または内部にあることから

$$ s \geqq 0,\quad t \geqq 0,\quad s+t \leqq 1

$$

である。

このとき

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \overrightarrow{OA} + s(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}) + t(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}) \\ &= (1-s-t)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC} \end{aligned}

$$

となる。

ここで

$$ \alpha=1-s-t,\quad \beta=s,\quad \gamma=t

$$

とおけば、

$$ \alpha \geqq 0,\quad \beta \geqq 0,\quad \gamma \geqq 0

$$

かつ

$$ \alpha+\beta+\gamma=1

$$

である。したがって

$$ \overrightarrow{OP} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB} + \gamma\overrightarrow{OC}

$$

と表せる。

**(2)**

球 $S$ の中心を $D(0,0,4)$ とする。点 $Q$ が球 $S$ の表面および内部を動くことは、あるベクトル $\vec u$ を用いて

$$ \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OD} + \vec u, \quad |\vec u|\leqq 2

$$

と表せることと同じである。

また、(1)より、点 $P$ は

$$ \overrightarrow{OP} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB} + \gamma\overrightarrow{OC}

$$

と表せる。ただし

$$ \alpha,\beta,\gamma \geqq 0,\quad \alpha+\beta+\gamma=1

$$

である。

線分 $PQ$ の中点を $M$ とすると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OM} &= \frac{1}{2}\overrightarrow{OP} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OQ} \\ &= \frac{1}{2} \left( \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB} + \gamma\overrightarrow{OC} \right) + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} + \frac{1}{2}\vec u \end{aligned}

$$

となる。

ここで $\alpha+\beta+\gamma=1$ であるから、

$$ \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} = \alpha\frac{1}{2}\overrightarrow{OD} + \beta\frac{1}{2}\overrightarrow{OD} + \gamma\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

$$

と分けられる。よって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OM} &= \alpha\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} \right) + \beta\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} \right) \\ &\quad+ \gamma\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} \right) + \vec r \end{aligned}

$$

ただし

$$ \vec r=\frac{1}{2}\vec u

$$

とおいたので、

$$ |\vec r|\leqq 1

$$

である。

したがって

$$ \overrightarrow{OA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}, \quad \overrightarrow{OB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}, \quad \overrightarrow{OC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

$$

とすればよい。

$A(-2,-2,0)$、$B(6,-2,0)$、$C(-2,4,0)$、$D(0,0,4)$ より、

$$ A'(-1,-1,2),\quad B'(3,-1,2),\quad C'(-1,2,2)

$$

である。

**(3)**

(2)より、立体 $V$ は、三角形 $A'B'C'$ の各点から距離 $1$ 以下にある点全体である。

三角形 $A'B'C'$ は平面 $z=2$ 上にあり、

$$ A'(-1,-1,2),\quad B'(3,-1,2),\quad C'(-1,2,2)

$$

である。したがって

$$ A'B'=4,\quad A'C'=3,\quad B'C'=5

$$

であり、三角形 $A'B'C'$ は直角三角形である。

よって、その面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3=6

$$

周の長さは

$$ 4+3+5=12

$$

である。

平面 $z=2+h$ で $V$ を切る。ただし $|h|\leqq 1$ である。この高さにおける断面は、三角形 $A'B'C'$ を同じ平面内で半径

$$ \rho=\sqrt{1-h^2}

$$

だけ外側に広げた図形になる。

三角形の面積を $6$、周の長さを $12$ とすると、半径 $\rho$ だけ外側に広げた図形の面積は

$$ 6+12\rho+\pi\rho^2

$$

である。これは、もとの三角形、各辺に沿う幅 $\rho$ の帯、各頂点にできる扇形の和として考えればよい。凸多角形の外角の和は $2\pi$ なので、扇形部分の合計は $\pi\rho^2$ である。

したがって、高さ $z=2+h$ における断面積は

$$ 6+12\sqrt{1-h^2}+\pi(1-h^2)

$$

である。

よって、体積は

$$ \begin{aligned} V &= \int_{-1}^{1} \left\{ 6+12\sqrt{1-h^2}+\pi(1-h^2) \right\} ,dh \\ &= \int_{-1}^{1}6,dh + 12\int_{-1}^{1}\sqrt{1-h^2},dh + \pi\int_{-1}^{1}(1-h^2),dh \end{aligned}

$$

ここで

$$ \int_{-1}^{1}\sqrt{1-h^2},dh=\frac{\pi}{2}

$$

であり、また

$$ \int_{-1}^{1}(1-h^2),dh = \left[h-\frac{h^3}{3}\right]_{-1}^{1}

\frac{4}{3}

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} V &= 12 + 12\cdot \frac{\pi}{2} + \pi\cdot \frac{4}{3} \\ &= 12+6\pi+\frac{4\pi}{3} \\ &= 12+\frac{22\pi}{3} \end{aligned}

$$

解説

点 $P$ の範囲は三角形なので、まず重心座標

$$ \alpha+\beta+\gamma=1,\quad \alpha,\beta,\gamma\geqq 0

$$

で表すのが自然である。

点 $Q$ の範囲は球なので、中心 $(0,0,4)$ に半径 $2$ 以下のベクトルを加えたものとして表す。中点を取ることで、三角形は $1/2$ 倍され、球の半径も $1/2$ 倍される。したがって、$A',B',C'$ はそれぞれ $A,B,C$ と球の中心 $(0,0,4)$ の中点になる。

体積計算では、立体 $V$ を「三角形 $A'B'C'$ から距離 $1$ 以下の点全体」と見る。高さごとの断面積を求めて積分すれば、計算を整理しやすい。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{OP} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB} + \gamma\overrightarrow{OC}, \quad \alpha,\beta,\gamma\geqq 0, \quad \alpha+\beta+\gamma=1

$$

と表せる。

**(2)**

$$ A'(-1,-1,2),\quad B'(3,-1,2),\quad C'(-1,2,2)

$$

**(3)**

$$ 12+\frac{22\pi}{3}

$$