基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題43 解説
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解説
方針・初手
$\overrightarrow{PQ}=s\vec a+t\vec b$ である。$s,t$ がどのような値でも $\overrightarrow{PQ}$ に垂直なベクトルを求めるには、$\vec a,\vec b$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めればよい。
解法1
まず、
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} \\ s\vec a+t\vec b \end{aligned} $$
である。$s,t$ がどのような値でも $\overrightarrow{PQ}$ に垂直であるためには、求めるベクトル $\vec x$ が
$$ \vec x\cdot \vec a=0,\qquad \vec x\cdot \vec b=0
$$
を満たせばよい。
$\vec x=(x,y,z)$ とおくと、$\vec a=(-1,2,1),\ \vec b=(1,-1,0)$ より、
$$ \begin{aligned} \vec x\cdot \vec a&=-x+2y+z=0,\\ \vec x\cdot \vec b&=x-y=0 \end{aligned}
$$
である。第2式から $x=y$ であり、これを第1式に代入すると
$$ -x+2x+z=0
$$
より、
$$ z=-x
$$
となる。したがって、
$$ \vec x=(x,x,-x)=x(1,1,-1)
$$
である。
長さが $1$ であるから、
$$ |\vec x|^2=x^2+x^2+(-x)^2=3x^2=1
$$
より、
$$ x=\pm \frac{1}{\sqrt3}
$$
である。よって、求めるベクトルは
$$ \vec v=\pm \frac{1}{\sqrt3}(1,1,-1)
$$
である。
次に、(1) で求めたベクトルの一つを $\vec v$ とする。このとき $\vec v$ は $\overrightarrow{PQ}$ に垂直なので、
$$ \overrightarrow{PQ}\cdot \vec v=0
$$
である。
ここで、
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ} &= \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ} \end{aligned} $$
より、
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ}\cdot \vec v &= (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ})\cdot \vec v \\ \overrightarrow{OP}\cdot \vec v+\overrightarrow{PQ}\cdot \vec v \\ \overrightarrow{OP}\cdot \vec v \end{aligned} $$
である。
$k=\overrightarrow{OP}\cdot \vec v$ であるから、
$$ \overrightarrow{OQ}\cdot \vec v=k
$$
となる。
また、
$$ \vec c=\overrightarrow{OQ}-k\vec v
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} \vec c\cdot \vec v &=(\overrightarrow{OQ}-k\vec v)\cdot \vec v\\ &=\overrightarrow{OQ}\cdot \vec v-k|\vec v|^2\\ &=k-k\cdot 1\\ &=0 \end{aligned}
$$
である。したがって、
$$ \vec c\perp \vec v
$$
が示された。
さらに、
$$ \overrightarrow{OQ}=k\vec v+\vec c
$$
であり、$\vec c\perp \vec v$ かつ $|\vec v|=1$ であるから、
$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OQ}|^2 &=|k\vec v+\vec c|^2\\ &=|k\vec v|^2+|\vec c|^2\\ &=k^2|\vec v|^2+|\vec c|^2\\ &=k^2+|\vec c|^2 \end{aligned}
$$
となる。$|\vec c|^2\geqq 0$ より、
$$ |\overrightarrow{OQ}|^2\geqq k^2
$$
である。
解説
$s,t$ が任意であることが重要である。$\overrightarrow{PQ}=s\vec a+t\vec b$ なので、$\overrightarrow{PQ}$ に常に垂直であるためには、$\vec a,\vec b$ のどちらにも垂直でなければならない。
(2) と (3) は、$\overrightarrow{OQ}$ を $\vec v$ 方向の成分 $k\vec v$ と、それに垂直な成分 $\vec c$ に分解している。これは正射影の考え方であり、垂直成分の長さの平方が非負であることから不等式が出る。
答え
**(1)**
$$ \vec v=\pm \frac{1}{\sqrt3}(1,1,-1)
$$
**(2)**
$$ \vec c\perp \vec v
$$
**(3)**
$$ |\overrightarrow{OQ}|^2\geqq k^2
$$