解説

方針・初手

中点を扱う問題なので、各点の位置ベクトルを置いて、中点の位置ベクトルを平均で表す。

特に $\overrightarrow{MN}$ は $M,N$ の位置ベクトルの差として計算し、$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{BD}$ の和で表す。条件 $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$ は、内積計算で二乗の差を消すために使う。

解法1

点 $A,B,C,D$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$ とする。

$M,N$ はそれぞれ $AB,CD$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{\vec a+\vec b}{2},\qquad \overrightarrow{ON}=\frac{\vec c+\vec d}{2}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM} \\ &=\frac{\vec c+\vec d-\vec a-\vec b}{2} \\ &=\frac{(\vec c-\vec a)+(\vec d-\vec b)}{2} \\ &=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}}{2}. \end{aligned}

$$

よって、(1) は

$$ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)

$$

である。

次に、(2) を計算する。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MN}\cdot\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\right) &=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\right) \\ &=\frac{1}{2}\left( |\overrightarrow{AC}|^2-|\overrightarrow{BD}|^2 \right). \end{aligned}

$$

ここで、条件より $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$ であるから、

$$ \overrightarrow{MN}\cdot\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\right)=0.

$$

したがって、

$$ \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BD}

$$

が成り立つ。

$M$ と $N$ は異なる点なので $|\overrightarrow{MN}|\neq 0$ である。また、$|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$ である。

$\overrightarrow{MN}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角を $\alpha$、$\overrightarrow{MN}$ と $\overrightarrow{BD}$ のなす角を $\beta$ とすると、

$$ \cos\alpha = \frac{\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{MN}|,|\overrightarrow{AC}|}, \qquad \cos\beta = \frac{\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{BD}} {|\overrightarrow{MN}|,|\overrightarrow{BD}|}.

$$

分子は等しく、分母も $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$ により等しいので、

$$ \cos\alpha=\cos\beta

$$

である。$0\leq \alpha\leq \pi,\ 0\leq \beta\leq \pi$ であるから、

$$ \alpha=\beta

$$

が従う。

最後に、$K,L$ はそれぞれ $AD,BC$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OK}=\frac{\vec a+\vec d}{2},\qquad \overrightarrow{OL}=\frac{\vec b+\vec c}{2}

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{KL} &=\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OK} \\ &=\frac{\vec b+\vec c-\vec a-\vec d}{2} \\ &=\frac{(\vec c-\vec a)-(\vec d-\vec b)}{2} \\ &=\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}}{2}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{KL} &= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right) \cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\right) \\ &= \frac{1}{4}\left( |\overrightarrow{AC}|^2-|\overrightarrow{BD}|^2 \right) \\ &=0. \end{aligned}

$$

$K$ と $L$ は異なる点なので $|\overrightarrow{KL}|\neq 0$ である。よって $\overrightarrow{MN}$ と $\overrightarrow{KL}$ は垂直である。

したがって、$\overrightarrow{MN}$ と $\overrightarrow{KL}$ のなす角は

$$ \frac{\pi}{2}

$$

である。

解説

中点を含むベクトル問題では、位置ベクトルを置いて平均を取る処理が最も安定する。

この問題の中心は、

$$ \overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}}{2}, \qquad \overrightarrow{KL}=\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}}{2}

$$

という2つの式である。

条件 $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$ により、

$$ \left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\right)=0

$$

となる。これは「和のベクトル」と「差のベクトル」が垂直になるという形であり、(2)、(3)、(4) のすべてに使われる。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)

$$

**(2)**

$$ \overrightarrow{MN}\cdot\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\right)=0

$$

**(3)**

$$ \alpha=\beta

$$

**(4)**

$$ \frac{\pi}{2}

$$