解説

方針・初手

座標が与えられているので、まず各ベクトルを成分で表す。

$$ \overrightarrow{OA}=(4,2,4),\quad \overrightarrow{AB}=B-A=(2,2,-2),\quad \overrightarrow{AC}=C-A=(-1,0,1)

$$

内積、面積、体積、点と直線・平面の距離は、すべてこれらのベクトル計算に帰着できる。

解法1

まず内積を求める。

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} =(4,2,4)\cdot(2,2,-2) =8+4-8=4

$$

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AC} =(4,2,4)\cdot(-1,0,1) =-4+0+4=0

$$

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =(2,2,-2)\cdot(-1,0,1) =-2+0-2=-4

$$

したがって、

$$ [1]=4,\quad [2]=0,\quad [3]=-4

$$

次に、$\angle BAC$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角である。

$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{3}

$$

$$ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}

$$

よって、

$$ \cos\angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} = \frac{-4}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}

-\frac{2}{\sqrt{6}}

-\frac{\sqrt{6}}{3}

$$

したがって、

$$ \angle BAC=\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)

$$

三角形 $ABC$ の面積は、外積を用いて求める。

$$ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 2&2&-2\\ -1&0&1 \end{vmatrix} =(2,0,2)

$$

よって、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{2^2+0^2+2^2}\\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned} $$

したがって、三角形 $ABC$ の面積は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| &= \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\\ &= \sqrt{2} \end{aligned} $$

よって、

$$ [4]=\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right),\quad [5]=\sqrt{2}

$$

次に、点 $A$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とする。

点 $D$ は直線 $BC$ 上にあるので、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{AD} = (1-t)\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}

$$

と表せる。

また、$\overrightarrow{AD}$ は直線 $BC$ に垂直であるから、

$$ \overrightarrow{AD}\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=0

$$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} \\ |\overrightarrow{AB}|^2 \\ -4-12=-16 \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) = |\overrightarrow{AC}|^2 \\ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB} \\ 2-(-4)=6 \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} 0 &= {(1-t)\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}} \cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\ &=(1-t)(-16)+6t\\ &=-16+22t \end{aligned}

$$

より、

$$ t=\frac{8}{11}

$$

である。よって、

$$ \overrightarrow{AD} = \left(1-\frac{8}{11}\right)\overrightarrow{AB} + \frac{8}{11}\overrightarrow{AC} = \frac{3}{11}\overrightarrow{AB} + \frac{8}{11}\overrightarrow{AC}

$$

したがって、

$$ [6]=\frac{3}{11}\overrightarrow{AB}+\frac{8}{11}\overrightarrow{AC}

$$

次に、四面体 $OABC$ の体積を求める。

四面体 $OABC$ の体積は

$$ \frac{1}{6}\left| \det(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}) \right|

$$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC} &= (6,4,2)\times(3,2,5)\\ &= (16,-24,0) \end{aligned} $$

なので、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC}) &= (4,2,4)\cdot(16,-24,0)\\ &= 64-48+0=16 \end{aligned} $$

したがって、四面体 $OABC$ の体積は

$$ \frac{1}{6}\cdot 16=\frac{8}{3}

$$

よって、

$$ [7]=\frac{8}{3}

$$

最後に、点 $A$ から平面 $OBC$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。

平面 $OBC$ は原点を通り、$\overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OC}$ を含む平面である。その法線ベクトルは

$$ \overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC} = (16,-24,0)

$$

である。これを $8$ で割って、法線ベクトルとして

$$ (2,-3,0)

$$

を用いる。

平面 $OBC$ は原点を通るので、方程式は

$$ 2x-3y=0

$$

である。

点 $A(4,2,4)$ からこの平面までの距離が $AH$ であるから、

$$ AH = \frac{|2\cdot4-3\cdot2|} \begin{aligned} {\sqrt{2^2+(-3)^2+0^2}} &= \frac{|8-6|}{\sqrt{13}}\\ &= \frac{2}{\sqrt{13}}\\ &= \frac{2\sqrt{13}}{13} \end{aligned} $$

したがって、

$$ [8]=\frac{2\sqrt{13}}{13}

$$

解説

この問題は、空間ベクトルの基本計算を順に確認する問題である。

内積では、成分表示したベクトルをそのまま計算すればよい。角度は内積公式、面積は外積、四面体の体積はスカラー三重積を使う。

垂線の足 $D$ を求める場面では、$D$ が直線 $BC$ 上にあることから、$\overrightarrow{AD}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の一次結合で表す。そのうえで、直線 $BC$ の方向ベクトル $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ と垂直である条件を使うのが自然である。

平面 $OBC$ への距離は、平面の法線ベクトルを外積で求め、点と平面の距離公式に代入すればよい。

答え

$$ [1]=4

$$

$$ [2]=0

$$

$$ [3]=-4

$$

$$ [4]=\cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)

$$

$$ [5]=\sqrt{2}

$$

$$ [6]=\frac{3}{11}\overrightarrow{AB}+\frac{8}{11}\overrightarrow{AC}

$$

$$ [7]=\frac{8}{3}

$$

$$ [8]=\frac{2\sqrt{13}}{13}

$$