基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題51 解説
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解説
方針・初手
平面が辺 $CD$ と直交することを示すには、その平面上の交わる2直線がともに $CD$ と直交することを示せばよい。
すでに $AB \perp CD$ は与えられているので、あとは $AM \perp CD$ を示せばよい。中点 $M$ を原点にとり、ベクトルの内積で処理する。
解法1
点 $M$ を原点とし、
$$ \vec{MA}=\mathbf{a},\quad \vec{MB}=\mathbf{b},\quad \vec{MC}=\mathbf{c}
$$
とおく。
$M$ は辺 $CD$ の中点であるから、
$$ \vec{MD}=-\mathbf{c}
$$
である。したがって、辺 $CD$ の方向ベクトルは $2\mathbf{c}$ と平行である。
まず、条件 $AB \perp CD$ より、
$$ (\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot \mathbf{c}=0
$$
である。
次に、条件 $CA \perp CB$ を内積で表す。 $\vec{CA}=\mathbf{a}-\mathbf{c}$、$\vec{CB}=\mathbf{b}-\mathbf{c}$ であるから、
$$ (\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})=0
$$
すなわち、
$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}-\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}=0
$$
である。
また、条件 $DA \perp DB$ を内積で表す。 $\vec{DA}=\mathbf{a}+\mathbf{c}$、$\vec{DB}=\mathbf{b}+\mathbf{c}$ であるから、
$$ (\mathbf{a}+\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=0
$$
すなわち、
$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}=0
$$
である。
この2式を引くと、
$$ 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0
$$
より、
$$ (\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=0
$$
を得る。
一方、すでに
$$ (\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot\mathbf{c}=0
$$
も成り立っている。よって、
$$ \begin{cases} (\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=0\\ (\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot\mathbf{c}=0 \end{cases}
$$
である。
この2式の差をとると、
$$ 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=0
$$
したがって、
$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=0
$$
である。
これは $\vec{MA}$ と $\vec{MC}$ が垂直であることを表す。辺 $CD$ の方向は $\mathbf{c}$ と平行であるから、
$$ AM \perp CD
$$
である。
また、問題の条件より
$$ AB \perp CD
$$
である。
直線 $AB$ と直線 $AM$ はともに平面 $ABM$ 上にあり、点 $A$ で交わる。したがって、直線 $CD$ は平面 $ABM$ 上の交わる2直線 $AB,AM$ の両方に垂直である。
よって、平面 $ABM$ は辺 $CD$ と直交する。
解説
この問題の核心は、$CA \perp CB$ と $DA \perp DB$ という2つの直角条件を、中点 $M$ を原点にして対称的に書くことである。
$M$ を原点にすると、$C$ と $D$ の位置ベクトルが $\mathbf{c}$ と $-\mathbf{c}$ になり、2つの直角条件が
$$ (\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{c})=0,\quad (\mathbf{a}+\mathbf{c})\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=0
$$
という対称な形になる。この差をとることで、$\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ と $\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}$ に関する条件が得られる。
さらに、もともと $AB \perp CD$ があるため、$(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot\mathbf{c}=0$ も使える。これらを組み合わせることで $AM \perp CD$ が導ける。
平面と直線の垂直を示すときは、「その平面上の交わる2直線に垂直」を示すのが典型である。
答え
平面 $ABM$ 上の直線 $AB$ と $AM$ は点 $A$ で交わり、
$$ AB \perp CD,\quad AM \perp CD
$$
が成り立つ。
したがって、頂点 $A$、頂点 $B$、辺 $CD$ の中点 $M$ の3点を通る平面は、辺 $CD$ と直交する。