解説

方針・初手

四面体の4面がすべて合同なので、まず各辺の長さを整理する。底面を平面 $L$ 上の三角形 $OAB$ とし、$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$ $\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ $\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$ とおく。

点 $C$ から平面 $L$ への射影を $H$ とすると、$\overrightarrow{OH}$ は $\mathbf{a},\mathbf{b}$ の一次結合で表せる。さらに、平面 $M$ は $L$ に垂直で、その $L$ との交線は $PQ$ であるから、断面は「$PQ$ を底辺とする垂直断面」として考える。

解法1

4面がすべて合同であり、三角形 $OAB$ の3辺は

$$ OA=3,\quad OB=\sqrt7,\quad AB=2

$$

である。よって、対応する辺の長さから

$$ OC=2,\quad AC=\sqrt7,\quad BC=3

$$

である。

$\mathbf{a}=\overrightarrow{OA}$ $\mathbf{b}=\overrightarrow{OB}$ $\mathbf{c}=\overrightarrow{OC}$ とおく。まず、

$$ |\mathbf{a}|^2=9,\quad |\mathbf{b}|^2=7,\quad |\mathbf{c}|^2=4

$$

である。また、$AB=2$ より

$$ |\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2=4

$$

だから、

$$ 9+7-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=4

$$

より

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=6

$$

である。

同様に、$AC=\sqrt7$ より

$$ |\mathbf{c}-\mathbf{a}|^2=7

$$

だから、

$$ 4+9-2\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}=7

$$

より

$$ \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}=3

$$

である。また、$BC=3$ より

$$ |\mathbf{c}-\mathbf{b}|^2=9

$$

だから、

$$ 4+7-2\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}=9

$$

より

$$ \mathbf{c}\cdot\mathbf{b}=1

$$

である。

**(1)**

$H$ は $C$ の平面 $L$ への射影であるから、$\overrightarrow{CH}$ は平面 $L$ に垂直である。したがって、$\overrightarrow{OH}$ は平面 $L$ 上にあり、

$$ \overrightarrow{OH}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}

$$

とおける。

射影の性質より、$\overrightarrow{CH}$ は $\mathbf{a},\mathbf{b}$ のどちらにも垂直である。したがって、

$$ (\mathbf{c}-\overrightarrow{OH})\cdot\mathbf{a}=0,\quad (\mathbf{c}-\overrightarrow{OH})\cdot\mathbf{b}=0

$$

である。つまり、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\mathbf{a}=\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}=3,\quad \overrightarrow{OH}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}=1

$$

である。

$\overrightarrow{OH}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}$ を代入すると、

$$ \begin{cases} 9x+6y=3,\\ 6x+7y=1 \end{cases}

$$

となる。これを解くと、

$$ x=\frac{5}{9},\quad y=-\frac{1}{3}

$$

である。よって、

$$ \overrightarrow{OH} =\frac{5}{9}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}

$$

である。

また、後で使うために $CH$ の長さを求めておく。射影の性質より、

$$ CH^2=OC^2-OH^2

$$

である。ここで、

$$ OH^2 =\left(\frac{5}{9}\mathbf{a}-\frac{1}{3}\mathbf{b}\right)^2 =\frac{25}{81}\cdot9-\frac{10}{27}\cdot6+\frac{1}{9}\cdot7 =\frac{4}{3}

$$

だから、

$$ CH^2=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}

$$

である。したがって、

$$ CH=\frac{2\sqrt6}{3}

$$

である。

**(2)**

線分 $OA,OB$ をそれぞれ $t:1-t$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{OP}=t\mathbf{a},\quad \overrightarrow{OQ}=t\mathbf{b}

$$

である。したがって、$PQ\parallel AB$ であり、

$$ PQ=tAB=2t

$$

である。

平面 $M$ は平面 $L$ に垂直で、$P,Q$ を通る。したがって、$M$ と $L$ の交線は直線 $PQ$ である。よって、四面体の断面を考えるには、四面体の各辺と平面 $M$ の交点を調べればよい。

点 $X$ を四面体内の点として、

$$ X=\lambda O+\mu A+\nu B+\rho C,\quad \lambda+\mu+\nu+\rho=1

$$

と表す。ただし、

$$ \lambda,\mu,\nu,\rho\geqq 0

$$

である。

点 $X$ の平面 $L$ への射影の位置ベクトルは

$$ \mu\mathbf{a}+\nu\mathbf{b}+\rho\overrightarrow{OH}

$$

である。ここで、

$$ \overrightarrow{OH} =\frac{5}{9}\mathbf{a}-\frac{1}{3}\mathbf{b}

$$

だから、射影の位置ベクトルは

$$ \left(\mu+\frac{5}{9}\rho\right)\mathbf{a} +\left(\nu-\frac{1}{3}\rho\right)\mathbf{b}

$$

である。

直線 $PQ$ 上の点は、$\mathbf{a},\mathbf{b}$ の係数の和が $t$ になる点である。したがって、$X$ が平面 $M$ 上にある条件は

$$ \left(\mu+\frac{5}{9}\rho\right) + \left(\nu-\frac{1}{3}\rho\right) =t

$$

すなわち

$$ \mu+\nu+\frac{2}{9}\rho=t

$$

である。

ここから、平面 $M$ が四面体のどの辺と交わるかを調べる。

**(i)**

$0<t<\dfrac{2}{9}$ のとき

辺 $OA$ とは $P$ で交わり、辺 $OB$ とは $Q$ で交わる。さらに、辺 $OC$ 上では $\mu=\nu=0$ であるから、

$$ \frac{2}{9}\rho=t

$$

より

$$ \rho=\frac{9t}{2}

$$

である。これは $0<t<\dfrac{2}{9}$ のとき $0<\rho<1$ を満たすので、平面 $M$ は辺 $OC$ と交わる。

その交点を $R$ とすると、$R$ の高さは

$$ \frac{9t}{2}CH

$$

である。断面は三角形 $PQR$ であるから、

$$ S(t)=\frac{1}{2}\cdot PQ\cdot \frac{9t}{2}CH

$$

である。$PQ=2t$ $CH=\dfrac{2\sqrt6}{3}$ より、

$$ S(t) =\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot \frac{9t}{2}\cdot \frac{2\sqrt6}{3} =3\sqrt6,t^2

$$

である。

**(ii)**

$\dfrac{2}{9}\leqq t<1$ のとき

この場合、平面 $M$ は辺 $OC$ とは交わらず、辺 $AC,BC$ と交わる。

辺 $AC$ 上では、点を

$$ X=(1-\rho)A+\rho C

$$

と表せる。つまり、$\nu=0$ $\mu+\rho=1$ である。平面 $M$ 上にある条件

$$ \mu+\frac{2}{9}\rho=t

$$

に $\mu=1-\rho$ を代入すると、

$$ 1-\rho+\frac{2}{9}\rho=t

$$

より、

$$ \rho=\frac{9(1-t)}{7}

$$

である。同様に、辺 $BC$ 上の交点でも同じ $\rho$ になる。

辺 $AC,BC$ との交点をそれぞれ $U,V$ とする。このとき、$U,V$ はともに $C$ からの割合 $\rho$ が同じなので、$UV\parallel AB$ であり、

$$ UV=(1-\rho)AB=2(1-\rho)

$$

である。

また、$U,V$ の平面 $L$ からの高さは

$$ \rho CH=\frac{9(1-t)}{7}CH

$$

である。断面は台形 $PUVQ$ であり、その上下の底辺は $PQ$ と $UV$ である。よって、

$$ S(t)=\frac{PQ+UV}{2}\cdot \rho CH

$$

である。

$PQ=2t$ $UV=2(1-\rho)$ を代入すると、

$$ S(t)=\frac{2t+2(1-\rho)}{2}\cdot \rho CH =(t+1-\rho)\rho CH

$$

である。ここで、

$$ \rho=\frac{9(1-t)}{7}

$$

だから、

$$ t+1-\rho =t+1-\frac{9(1-t)}{7} =\frac{16t-2}{7} =\frac{2(8t-1)}{7}

$$

である。したがって、

$$ S(t) =\frac{2(8t-1)}{7}\cdot \frac{9(1-t)}{7}\cdot \frac{2\sqrt6}{3} =\frac{12\sqrt6}{49}(8t-1)(1-t)

$$

である。

以上より、

$$ S(t)= \begin{cases} 3\sqrt6,t^2 & \left(0<t<\dfrac{2}{9}\right),\\[6pt] \dfrac{12\sqrt6}{49}(8t-1)(1-t) & \left(\dfrac{2}{9}\leqq t<1\right) \end{cases}

$$

である。

**(3)**

まず、$0<t<\dfrac{2}{9}$ では

$$ S(t)=3\sqrt6,t^2

$$

であり、これは単調増加である。したがって、この範囲での最大値候補は $t=\dfrac{2}{9}$ での値であり、

$$ S\left(\frac{2}{9}\right) =3\sqrt6\cdot\frac{4}{81} =\frac{4\sqrt6}{27}

$$

である。

次に、$\dfrac{2}{9}\leqq t<1$ では

$$ S(t)=\frac{12\sqrt6}{49}(8t-1)(1-t)

$$

である。係数 $\dfrac{12\sqrt6}{49}$ は正なので、

$$ (8t-1)(1-t)

$$

を最大にすればよい。

展開すると、

$$ (8t-1)(1-t) =-8t^2+9t-1

$$

である。これは上に凸の2次関数であり、頂点は

$$ t=\frac{-9}{2(-8)}=\frac{9}{16}

$$

である。これは

$$ \frac{2}{9}<\frac{9}{16}<1

$$

を満たす。

よって、最大値は $t=\dfrac{9}{16}$ のときである。このとき、

$$ (8t-1)(1-t) = \left(8\cdot\frac{9}{16}-1\right) \begin{aligned} \left(1-\frac{9}{16}\right) &= \frac{7}{2}\cdot\frac{7}{16}\\ &= \frac{49}{32} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} S(t)_{\max} &= \frac{12\sqrt6}{49}\cdot\frac{49}{32}\\ &= \frac{3\sqrt6}{8} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$C$ の射影 $H$ が三角形 $OAB$ の外側にある点であることを正しく扱う点である。$\overrightarrow{OH}$ の係数が

$$ \frac{5}{9},\quad -\frac{1}{3}

$$

となり、$\overrightarrow{OB}$ の係数が負になるため、断面の形は途中で変化する。

特に、平面 $M$ が辺 $OC$ と交わるのは $0<t<\dfrac{2}{9}$ のときであり、それ以降は辺 $AC,BC$ と交わる。この境目を見落とすと、$S(t)$ を1つの式だけで処理してしまい、最大値を誤る。

断面は、前半では三角形、後半では台形である。平面 $M$ は平面 $L$ に垂直なので、断面の面積は「$PQ$ 方向の長さ」と「平面 $L$ からの高さ」を使って計算できる。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{OH} = \frac{5}{9}\overrightarrow{OA} -\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}

$$

**(2)**

$$ S(t)= \begin{cases} 3\sqrt6,t^2 & \left(0<t<\dfrac{2}{9}\right),\\[6pt] \dfrac{12\sqrt6}{49}(8t-1)(1-t) & \left(\dfrac{2}{9}\leqq t<1\right) \end{cases}

$$

**(3)**

$$ t=\frac{9}{16}

$$

のとき最大であり、最大値は

$$ \frac{3\sqrt6}{8}

$$