解説

方針・初手

$\overrightarrow{OH}$ は平面 $ABC$ に垂直であるから、平面 $ABC$ 上の2つの方向ベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ と直交する。

また、$H$ は平面 $ABC$ 上にあるので、$\overrightarrow{OH}$ を $\vec a,\vec b,\vec c$ の一次結合で表したとき、係数の和は $1$ になる。この2条件から $r,s,t$ を求める。

解法1

$\vec a=\overrightarrow{OA},\vec b=\overrightarrow{OB},\vec c=\overrightarrow{OC}$ とする。条件より

$$ |\vec a|=3,\quad |\vec b|=|\vec c|=4

$$

であり、どの2本のなす角も $\dfrac{\pi}{3}$ であるから、

$$ \vec a\cdot\vec a=9,\quad \vec b\cdot\vec b=\vec c\cdot\vec c=16

$$

$$ \vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=3\cdot 4\cdot \frac12=6,\quad \vec b\cdot\vec c=4\cdot 4\cdot \frac12=8

$$

である。

$\overrightarrow{OH}=r\vec a+s\vec b+t\vec c$ とおく。$H$ は平面 $ABC$ 上にあるので、$r,s,t$ は

$$ r+s+t=1

$$

を満たす。

また、$\overrightarrow{OH}$ は平面 $ABC$ に垂直であるから、

$$ \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\quad \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AC}=0

$$

である。すなわち、

$$ (r\vec a+s\vec b+t\vec c)\cdot(\vec b-\vec a)=0

$$

$$ (r\vec a+s\vec b+t\vec c)\cdot(\vec c-\vec a)=0

$$

である。

内積を計算すると、

$$ \begin{aligned} (r\vec a+s\vec b+t\vec c)\cdot(\vec b-\vec a) &=(6r+16s+8t)-(9r+6s+6t)\\ &=-3r+10s+2t \end{aligned}

$$

より、

$$ -3r+10s+2t=0

$$

である。同様に、

$$ \begin{aligned} (r\vec a+s\vec b+t\vec c)\cdot(\vec c-\vec a) &=(6r+8s+16t)-(9r+6s+6t)\\ &=-3r+2s+10t \end{aligned}

$$

より、

$$ -3r+2s+10t=0

$$

である。

したがって、

$$ \begin{cases} r+s+t=1\\ -3r+10s+2t=0\\ -3r+2s+10t=0 \end{cases}

$$

を解けばよい。

第2式から第3式を引くと、

$$ 8s-8t=0

$$

より、

$$ s=t

$$

である。これを第2式に代入すると、

$$ -3r+12s=0

$$

より、

$$ r=4s

$$

である。さらに $r+s+t=1$ より、

$$ 4s+s+s=1

$$

だから、

$$ s=\frac16

$$

である。よって、

$$ r=\frac23,\quad s=\frac16,\quad t=\frac16

$$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{OH}=\frac23\vec a+\frac16\vec b+\frac16\vec c

$$

である。

次に、直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $D$ とする。

$D$ は直線 $CH$ 上にあるから、実数 $\lambda$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD} =\vec c+\lambda(\overrightarrow{OH}-\vec c)

$$

と表せる。ここで

$$ \overrightarrow{OH} =\frac23\vec a+\frac16\vec b+\frac16\vec c

$$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OD} &=\vec c+\lambda\left(\frac23\vec a+\frac16\vec b+\frac16\vec c-\vec c\right)\\ &=\frac{2\lambda}{3}\vec a+\frac{\lambda}{6}\vec b+\left(1-\frac{5\lambda}{6}\right)\vec c \end{aligned}

$$

となる。

一方、$D$ は直線 $AB$ 上にあるので、$\overrightarrow{OD}$ は $\vec a,\vec b$ の一次結合で表され、$\vec c$ の係数は $0$ である。したがって、

$$ 1-\frac{5\lambda}{6}=0

$$

より、

$$ \lambda=\frac65

$$

である。

このとき、

$$ \overrightarrow{OD} =\frac{2}{3}\cdot\frac65\vec a+\frac16\cdot\frac65\vec b =\frac45\vec a+\frac15\vec b

$$

である。

まず、$\lambda=0$ のとき $C$、$\lambda=1$ のとき $H$、$\lambda=\dfrac65$ のとき $D$ である。したがって $D$ は $C,H$ を通る直線上で、$H$ の先にあり、

$$ CH:HD=1:\left(\frac65-1\right)=1:\frac15=5:1

$$

である。

また、

$$ \overrightarrow{OD}=\frac45\vec a+\frac15\vec b

$$

より、$D$ は線分 $AB$ を $A$ から $B$ に向かって $\dfrac15$ 進んだ点である。したがって、

$$ AD:DB=\frac15:\frac45=1:4

$$

である。

解説

この問題では、垂線の足 $H$ を直接求めるために、まず $H$ が平面 $ABC$ 上にある条件と、$\overrightarrow{OH}$ が平面 $ABC$ に垂直である条件を式にすることが重要である。

$H$ が平面 $ABC$ 上にあることは、$\overrightarrow{OH}=r\vec a+s\vec b+t\vec c$ において $r+s+t=1$ と表される。また、平面に垂直であることは、平面内の2本の独立な方向ベクトル $\vec b-\vec a,\vec c-\vec a$ との内積がともに $0$ であることに置き換えられる。

交点 $D$ については、直線 $CH$ 上の点としてパラメータ表示し、それが直線 $AB$ 上にもあるという条件から $\vec c$ の係数を $0$ にする。これにより、長さの比も同じパラメータから自然に求まる。

答え

**(1)**

$$ r=\frac23,\quad s=\frac16,\quad t=\frac16

$$

**(2)**

$$ CH:HD=5:1,\quad AD:DB=1:4

$$