基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題56 解説
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解説
方針・初手
点 $P$ は直線 $AB$ 上にあるので、$P=A+t\overrightarrow{AB}$ とおく。さらに $OP\perp AB$ より、$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ を用いて $t$ を決める。
その後、直線 $CP$ を媒介変数で表し、$xy$ 平面との交点は $z=0$ となる条件から求める。
解法1
まず、
$$ \overrightarrow{AB}=B-A=(4,-2,-4)
$$
である。点 $P$ は直線 $AB$ 上にあるから、実数 $t$ を用いて
$$ P=A+t\overrightarrow{AB}
$$
とおける。すなわち、
$$ P=(0,2,4)+t(4,-2,-4)=(4t,2-2t,4-4t)
$$
である。
条件 $OP\perp AB$ より、
$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{AB}=0
$$
であるから、
$$ (4t,2-2t,4-4t)\cdot(4,-2,-4)=0
$$
を解く。
$$ 16t-2(2-2t)-4(4-4t)=0
$$
より、
$$ 16t-4+4t-16+16t=0
$$
したがって、
$$ 36t-20=0
$$
となるので、
$$ t=\frac{5}{9}
$$
である。よって、
$$ P=\left(4\cdot\frac{5}{9},2-2\cdot\frac{5}{9},4-4\cdot\frac{5}{9}\right) =\left(\frac{20}{9},\frac{8}{9},\frac{16}{9}\right)
$$
である。
次に、$\overrightarrow{CP}$ を求める。
$$ \overrightarrow{CP}=P-C =\left(\frac{20}{9},\frac{8}{9},\frac{16}{9}\right)-(1,4,4)
$$
より、
$$ \overrightarrow{CP} =\left(\frac{11}{9},-\frac{28}{9},-\frac{20}{9}\right)
$$
である。
直線 $CP$ 上の点を、実数 $s$ を用いて
$$ X=C+s\overrightarrow{CP}
$$
と表す。つまり、
$$ X=(1,4,4)+s\left(\frac{11}{9},-\frac{28}{9},-\frac{20}{9}\right)
$$
である。
点 $Q$ は $xy$ 平面上にあるから、$z$ 座標が $0$ である。したがって、
$$ 4+s\left(-\frac{20}{9}\right)=0
$$
を満たす。
$$ 4-\frac{20}{9}s=0
$$
より、
$$ s=\frac{9}{5}
$$
である。したがって、
$$ Q=(1,4,4)+\frac{9}{5}\left(\frac{11}{9},-\frac{28}{9},-\frac{20}{9}\right)
$$
となるので、
$$ Q=\left(1+\frac{11}{5},4-\frac{28}{5},4-4\right) =\left(\frac{16}{5},-\frac{8}{5},0\right)
$$
である。
また、$s=0$ が $C$、$s=1$ が $P$、$s=\frac{9}{5}$ が $Q$ に対応する。したがって、$P$ から $Q$ までは、$C$ から $P$ までの長さの
$$ \frac{9}{5}-1=\frac{4}{5}
$$
倍である。
よって、
$$ |CP|:|PQ|=1:\frac{4}{5}=5:4
$$
である。
解説
この問題の中心は、空間ベクトルの垂直条件を内積で表すことである。点 $P$ が直線 $AB$ 上にあることから $P=A+t\overrightarrow{AB}$ とおけば、垂直条件は $P\cdot\overrightarrow{AB}=0$ という一次方程式になる。
また、直線と $xy$ 平面の交点は、直線を媒介変数で表して $z=0$ を代入すればよい。比 $|CP|:|PQ|$ は実際に距離を計算しなくても、同一直線上の媒介変数の差から求められる。
答え
$$ \text{[シ]}=\left(\frac{20}{9},\frac{8}{9},\frac{16}{9}\right)
$$
$$ \text{[ス]}=\left(\frac{11}{9},-\frac{28}{9},-\frac{20}{9}\right)
$$
$$ \text{[セ]}:\text{[ソ]}=5:4
$$
$$ \text{[タ]}=\left(\frac{16}{5},-\frac{8}{5},0\right)
$$