解説

方針・初手

点 $G,P,Q,R$ の位置ベクトルを順に求める。特に、$R$ は $OP$ 上にも $BQ$ 上にもあるので、2通りに表して係数を比較する。

垂直条件は

$$ \overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{AR}=0

$$

に直して、(2)で得た内積を代入すればよい。

解法1

三角形 $OAC$ の重心が $G$ であるから、

$$ \overrightarrow{OG}=\frac{\vec a+\vec c}{3}

$$

である。

また、$P$ は辺 $BC$ を $2:1$ に内分する点、すなわち $BP:PC=2:1$ であるから、

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{\vec b+2\vec c}{3}

$$

である。

さらに、$Q$ は辺 $OC$ の中点なので、

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{\vec c}{2}

$$

である。

点 $R$ は直線 $OP$ 上にあるから、実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} =s\overrightarrow{OP} =s\frac{\vec b+2\vec c}{3}

$$

と表せる。

一方、$R$ は直線 $BQ$ 上にもあるから、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} =(1-t)\vec b+t\frac{\vec c}{2}

$$

と表せる。

したがって、

$$ s\frac{\vec b+2\vec c}{3} =(1-t)\vec b+\frac{t}{2}\vec c

$$

である。$\vec b,\vec c$ の係数を比較して、

$$ \frac{s}{3}=1-t,\qquad \frac{2s}{3}=\frac{t}{2}

$$

を得る。

第2式より

$$ t=\frac{4s}{3}

$$

であるから、これを第1式へ代入して、

$$ \frac{s}{3}=1-\frac{4s}{3}

$$

より、

$$ \frac{5s}{3}=1

$$

したがって、

$$ s=\frac{3}{5}

$$

である。よって、

$$ \overrightarrow{OR} =\frac{3}{5}\cdot \frac{\vec b+2\vec c}{3} =\frac{\vec b+2\vec c}{5}

$$

となる。

次に、$OC=x$ であるから、

$$ |\vec c|^2=x^2

$$

である。

また、$\angle BOC=\angle COA=\frac{\pi}{3}$ より、

$$ \vec b\cdot\vec c =|\vec b||\vec c|\cos\frac{\pi}{3} =1\cdot x\cdot \frac{1}{2} =\frac{x}{2}

$$

であり、

$$ \vec c\cdot\vec a =|\vec c||\vec a|\cos\frac{\pi}{3} =x\cdot 1\cdot \frac{1}{2} =\frac{x}{2}

$$

である。

最後に、$\overrightarrow{BG}$ と $\overrightarrow{AR}$ が垂直である条件を用いる。

まず、

$$ \overrightarrow{BG} =\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OB} =\frac{\vec a+\vec c}{3}-\vec b

$$

であり、

$$ \overrightarrow{AR} =\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OA} =\frac{\vec b+2\vec c}{5}-\vec a

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BG}\cdot\overrightarrow{AR} &= \left(\frac{\vec a+\vec c}{3}-\vec b\right) \cdot \left(\frac{\vec b+2\vec c}{5}-\vec a\right)\\ &= \frac{1}{15} (\vec a+\vec c-3\vec b)\cdot(\vec b+2\vec c-5\vec a) \end{aligned}

$$

である。

ここで、

$$ |\vec a|^2=|\vec b|^2=1,\qquad \vec a\cdot\vec b=\frac{1}{2}

$$

であり、さらに

$$ |\vec c|^2=x^2,\qquad \vec b\cdot\vec c=\frac{x}{2},\qquad \vec c\cdot\vec a=\frac{x}{2}

$$

を代入する。

$$ \begin{aligned} 15,\overrightarrow{BG}\cdot\overrightarrow{AR} &=(\vec a+\vec c-3\vec b)\cdot(\vec b+2\vec c-5\vec a)\\ &=\vec a\cdot\vec b+2\vec a\cdot\vec c-5|\vec a|^2\\ &\quad+\vec c\cdot\vec b+2|\vec c|^2-5\vec c\cdot\vec a\\ &\quad-3|\vec b|^2-6\vec b\cdot\vec c+15\vec b\cdot\vec a\\ &=\frac12+x-5+\frac{x}{2}+2x^2-\frac{5x}{2}-3-3x+\frac{15}{2}\\ &=2x^2-4x\\ &=2x(x-2) \end{aligned}

$$

垂直条件より、

$$ \overrightarrow{BG}\cdot\overrightarrow{AR}=0

$$

であるから、

$$ 2x(x-2)=0

$$

となる。

四面体において $OC=x>0$ であるから、$x=0$ は不適である。よって、

$$ x=2

$$

である。

解説

この問題では、空間図形を直接扱うよりも、すべて位置ベクトルに直すのが基本である。

特に重要なのは、交点 $R$ を直線 $OP$ 上と直線 $BQ$ 上の2通りに表すことである。これにより、図形的な交点条件を係数比較だけで処理できる。

また、垂直条件は

$$ \overrightarrow{BG}\cdot\overrightarrow{AR}=0

$$

に変換する。角度条件 $\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=\frac{\pi}{3}$ は、それぞれ内積

$$ \vec a\cdot\vec b,\qquad \vec b\cdot\vec c,\qquad \vec c\cdot\vec a

$$

として使うのが自然である。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{OG}=\frac{\vec a+\vec c}{3}

$$

$$ \overrightarrow{OR}=\frac{\vec b+2\vec c}{5}

$$

**(2)**

$$ |\vec c|^2=x^2,\qquad \vec b\cdot\vec c=\frac{x}{2},\qquad \vec c\cdot\vec a=\frac{x}{2}

$$

**(3)**

$$ x=2

$$