解説

方針・初手

点 $P$ は単位円上にあり、$\angle AOP=t$ であるから、まず $P$ を三角関数で表す。点 $Q$ は原点に関して $P$ と対称な点である。

その後、$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{BQ}$ を成分で表し、内積と長さを計算する。角 $\theta=\angle PBQ$ については

$$ \cos\theta=\frac{\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BQ}}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{BQ}|}

$$

を用いる。

解法1

**(1)**

点 $A$ は $(1,0,0)$ であり、$\overrightarrow{OA}$ は $x$ 軸の正の向きを表す。点 $P$ は $xy$ 平面上の半径 $1$ の円 $C$ のうち $y\geqq 0$ の部分にあるので、$0\leqq t\leqq \pi$ に対して

$$ P=(\cos t,\sin t,0)

$$

である。

**(2)**

$\overrightarrow{OQ}=-\overrightarrow{OP}$ より、

$$ Q=(-\cos t,-\sin t,0)

$$

である。

また、$B=(\sqrt3,1,1)$ だから、

$$ \overrightarrow{BP} = (\cos t-\sqrt3,\sin t-1,-1)

$$

$$ \overrightarrow{BQ} = (-\cos t-\sqrt3,-\sin t-1,-1)

$$

となる。

したがって、内積は

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BQ} &=(\cos t-\sqrt3)(-\cos t-\sqrt3) +(\sin t-1)(-\sin t-1)+(-1)(-1)\\ &=(3-\cos^2 t)+(1-\sin^2 t)+1\\ &=5-(\cos^2 t+\sin^2 t)\\ &=4 \end{aligned}

$$

である。

次に、$|\overrightarrow{BP}|^2$ を求める。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{BP}|^2 &=(\cos t-\sqrt3)^2+(\sin t-1)^2+(-1)^2\\ &=\cos^2 t-2\sqrt3\cos t+3+\sin^2 t-2\sin t+1+1\\ &=6-2\sqrt3\cos t-2\sin t \end{aligned}

$$

ここで

$$ \begin{aligned} \sqrt3\cos t+\sin t &= 2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos t+\frac12\sin t\right)\\ &= 2\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right) \end{aligned} $$

であるから、

$$ |\overrightarrow{BP}|^2 = 6-4\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)

$$

となる。

よって、

$$ m=6,\qquad n=4,\qquad \alpha=\frac{\pi}{3}

$$

である。

**(3)**

まず、$|\overrightarrow{BQ}|^2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{BQ}|^2 &=(-\cos t-\sqrt3)^2+(-\sin t-1)^2+(-1)^2\\ &=(\cos t+\sqrt3)^2+(\sin t+1)^2+1\\ &=6+2\sqrt3\cos t+2\sin t \end{aligned}

$$

ここで

$$ D=\sqrt3\cos t+\sin t

$$

とおくと、

$$ |\overrightarrow{BP}|^2=6-2D,\qquad |\overrightarrow{BQ}|^2=6+2D

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BQ}} {|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{BQ}|}\\ &= \frac{4}{\sqrt{(6-2D)(6+2D)}}\\ &= \frac{4}{\sqrt{36-4D^2}}\\ &= \frac{2}{\sqrt{9-D^2}} \end{aligned}

$$

となる。

また、

$$ D=\sqrt3\cos t+\sin t = 2\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)

$$

である。$0\leqq t\leqq \pi$ より、

$$ \frac{\pi}{3}\leqq t+\frac{\pi}{3}\leqq \frac{4\pi}{3}

$$

である。この範囲で

$$ D=2\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)

$$

の取りうる値は

$$ -\sqrt3\leqq D\leqq 2

$$

である。

$\cos\theta=\dfrac{2}{\sqrt{9-D^2}}$ は、$D^2$ が大きいほど大きく、$D^2$ が小さいほど小さい。

最大値は $|D|$ が最大のときである。この範囲では $|D|$ の最大値は $2$ であり、

$$ D=2

$$

となるのは

$$ 2\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)=2

$$

すなわち

$$ t+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}

$$

のときである。よって

$$ t=\frac{\pi}{6}

$$

であり、このとき

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{2}{\sqrt{9-4}}\\ &= \frac{2}{\sqrt5} \end{aligned} $$

である。

最小値は $D^2$ が最小のときである。$D=0$ が可能であり、

$$ 2\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)=0

$$

より

$$ t+\frac{\pi}{3}=\pi

$$

であるから、

$$ t=\frac{2\pi}{3}

$$

である。このとき

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{2}{\sqrt9}\\ &= \frac23 \end{aligned} $$

である。

したがって、$\cos\theta$ の最大値は $\dfrac{2}{\sqrt5}$、最小値は $\dfrac23$ である。

**(4)**

$\cos\theta$ が最小となるのは、上で求めた通り

$$ t=\frac{2\pi}{3}

$$

のときである。

このとき $D=0$ なので、

$$ |\overrightarrow{BP}|^2=6,\qquad |\overrightarrow{BQ}|^2=6

$$

である。よって

$$ |\overrightarrow{BP}|=|\overrightarrow{BQ}|=\sqrt6

$$

である。

また、最小値のとき

$$ \cos\theta=\frac23

$$

だから、

$$ \begin{aligned} \sin\theta &= \sqrt{1-\cos^2\theta}\\ &= \sqrt{1-\frac49}\\ &= \frac{\sqrt5}{3} \end{aligned} $$

である。

したがって、三角形 $PBQ$ の面積は

$$ \begin{aligned} \frac12|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{BQ}|\sin\theta &= \frac12\cdot \sqrt6\cdot \sqrt6\cdot \frac{\sqrt5}{3}\\ &= \sqrt5 \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は、点 $P$ と点 $Q$ が原点に関して対称であることを成分で正確に処理する点にある。

特に、$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BQ}$ が $t$ によらず一定値 $4$ になるため、$\cos\theta$ の変化は $|\overrightarrow{BP}|$ と $|\overrightarrow{BQ}|$ の積だけで決まる。

また、

$$ \sqrt3\cos t+\sin t = 2\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)

$$

と合成することで、最大値・最小値の判定がしやすくなる。三角関数の合成後は、$t$ の範囲から角 $t+\dfrac{\pi}{3}$ の範囲を必ず確認する必要がある。

答え

**(1)**

$$ P=(\cos t,\sin t,0)

$$

**(2)**

$$ \overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BQ}=4

$$

$$ m=6,\qquad n=4,\qquad \alpha=\frac{\pi}{3}

$$

**(3)**

$$ \cos\theta \text{ の最大値 }=\frac{2}{\sqrt5} \quad \left(t=\frac{\pi}{6}\right)

$$

$$ \cos\theta \text{ の最小値 }=\frac23 \quad \left(t=\frac{2\pi}{3}\right)

$$

**(4)**

$$ \triangle PBQ \text{ の面積 }=\sqrt5

$$