基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題67 解説
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解説
方針・初手
直線 $l$ 上の点 $P$ を媒介変数で表し、$OP$ が直線 $l$ と垂直である条件を内積 $0$ で表す。
直線 $l$ の方向ベクトルは、$A(0,1,1)$、$B(1,3,0)$ より
$$ \overrightarrow{AB}=(1,2,-1)
$$
である。
解法1
直線 $l$ 上の点 $P$ は、実数 $t$ を用いて
$$ P=A+t\overrightarrow{AB}
$$
と表せる。したがって
$$ P=(0,1,1)+t(1,2,-1)=(t,1+2t,1-t)
$$
である。
原点を $O$ とすると、
$$ \overrightarrow{OP}=(t,1+2t,1-t)
$$
である。
直線 $OP$ が直線 $l$ と垂直に交わるためには、$\overrightarrow{OP}$ が直線 $l$ の方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と垂直であればよい。よって
$$ \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AB}=0
$$
である。
これを計算すると、
$$ (t,1+2t,1-t)\cdot(1,2,-1)=0
$$
より
$$ t+2(1+2t)-(1-t)=0
$$
である。整理して
$$ t+2+4t-1+t=0
$$
すなわち
$$ 6t+1=0
$$
となる。したがって
$$ t=-\frac{1}{6}
$$
である。
よって、点 $P$ の $y$ 座標は
$$ 1+2t=1+2\left(-\frac{1}{6}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
$$
である。
解説
直線上の点を媒介変数で表し、垂直条件を内積で処理する典型問題である。
ここで注意すべき点は、垂直なのは $OP$ と直線 $l$ であり、したがって $\overrightarrow{OP}$ と直線 $l$ の方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$ の内積を $0$ にすることである。
点 $P$ は直線 $l$ 上にあるので、$P=(t,1+2t,1-t)$ と置けば、条件は一次方程式になり、$y$ 座標もすぐに求まる。
答え
$$ [③]=\frac{2}{3}
$$