基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題68 解説
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解説
方針・初手
平面 $\alpha$ は座標軸上の切片をもつ平面なので、まず平面の方程式を求める。次に、点 $P$ から平面 $\alpha$ への垂線方向は平面の法線ベクトル方向であることを用いる。
解法1
$A(1,0,0)$、$B\left(0,\dfrac12,0\right)$、$C\left(0,0,\dfrac13\right)$ を通る平面 $\alpha$ は、切片の形から
$$ \frac{x}{1}+\frac{y}{1/2}+\frac{z}{1/3}=1
$$
である。したがって、
$$ x+2y+3z=1
$$
と表される。
また、
$$ \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
$$
より、
$$ P=\left(1,\frac12,\frac13\right)
$$
である。
平面 $\alpha$ の法線ベクトルは
$$ \boldsymbol{n}=(1,2,3)
$$
であるから、$\overrightarrow{PQ}$ は $\boldsymbol{n}$ に平行である。よって、実数 $t$ を用いて
$$ Q=P+t(1,2,3)
$$
とおける。
$P=\left(1,\dfrac12,\dfrac13\right)$ であるから、
$$ Q= \left(1+t,\frac12+2t,\frac13+3t\right)
$$
である。点 $Q$ は平面 $\alpha$ 上にあるので、
$$ (1+t)+2\left(\frac12+2t\right)+3\left(\frac13+3t\right)=1
$$
を満たす。これを整理すると、
$$ 3+14t=1
$$
より、
$$ t=-\frac17
$$
である。
したがって、
$$ \overrightarrow{PQ} = t(1,2,3)
\left(-\frac17,-\frac27,-\frac37\right)
$$
である。
ここで、
$$ \overrightarrow{OA}=(1,0,0),\quad \overrightarrow{OB}=\left(0,\frac12,0\right),\quad \overrightarrow{OC}=\left(0,0,\frac13\right)
$$
であるから、
$$ \left(-\frac17,-\frac27,-\frac37\right) = -\frac17\overrightarrow{OA} -\frac47\overrightarrow{OB} -\frac97\overrightarrow{OC}
$$
となる。
解説
この問題では、平面の方程式を立てたあと、垂線方向が法線ベクトル方向であることを使えばよい。
注意すべき点は、最後に $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を用いて表すとき、$\overrightarrow{OB}$ や $\overrightarrow{OC}$ は標準基底ではないことである。例えば $\overrightarrow{OB}=\left(0,\dfrac12,0\right)$ なので、$y$ 成分 $-\dfrac27$ を作るには係数は $-\dfrac47$ となる。
答え
$$ \overrightarrow{PQ} = -\frac17\overrightarrow{OA} -\frac47\overrightarrow{OB} -\frac97\overrightarrow{OC}
$$