解説

方針・初手

位置ベクトルで処理する。四面体 $OABC$ では $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立であるから、各点の位置ベクトルをこの3本の一次結合で表せば係数を比較できる。

まず $P,Q,R$ の位置ベクトルを順に求め、重心 $G$ を計算する。次に、直線 $OG$ 上の点を $t\overrightarrow{OG}$ とおき、これが平面 $ABC$ 上にある条件を用いる。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$ とおく。

点 $P$ は線分 $AB$ を $3:2$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{2\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{5}

$$

である。

点 $Q$ は線分 $OP$ を $5:1$ に外分する。すなわち $OQ:QP=5:1$ で、$Q$ は $P$ の先にあるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ} &= \frac{5}{4}\overrightarrow{OP}\\ &= \frac{5}{4}\cdot \frac{2\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{5}\\ &= \frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b} \end{aligned} $$

である。

点 $R$ は線分 $CQ$ を $2:1$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{OR} = \frac{1\cdot \mathbf{c}+2\overrightarrow{OQ}}{3}

$$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR} &= \frac{1}{3}\mathbf{c} + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{3}{4}\mathbf{b}\right)\\ &= \frac{1}{3}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{3}\mathbf{c} \end{aligned}

$$

である。

$G$ は三角形 $ARB$ の重心であるから、

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{OB}}{3}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OG} &= \frac{1}{3}\left( \mathbf{a} + \left( \frac{1}{3}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{3}\mathbf{c} \right) + \mathbf{b} \right)\\ &= \frac{1}{3}\left( \frac{4}{3}\mathbf{a} + \frac{3}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{3}\mathbf{c} \right)\\ &= \frac{4}{9}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{9}\mathbf{c} \end{aligned}

$$

ゆえに、

$$ [\mathrm{a}]=\frac{4}{9},\quad [\mathrm{b}]=\frac{1}{2},\quad [\mathrm{c}]=\frac{1}{9}

$$

である。

次に、点 $S$ は線分 $OG$ 上にあるので、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OS} = t\overrightarrow{OG}

$$

と表せる。したがって、

$$ \overrightarrow{OS} = t\left( \frac{4}{9}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{9}\mathbf{c} \right)

$$

である。

一方、$S$ は三角形 $ABC$ 上の点である。平面 $ABC$ 上の点は

$$ x\mathbf{a}+y\mathbf{b}+z\mathbf{c}

$$

と表したとき、係数が

$$ x+y+z=1

$$

を満たす。

したがって、$\overrightarrow{OS}=t\overrightarrow{OG}$ の係数の和が $1$ になればよい。よって、

$$ t\left( \frac{4}{9} + \frac{1}{2} + \frac{1}{9} \right) = 1

$$

である。ここで、

$$ \frac{4}{9} + \frac{1}{2} + \frac{1}{9} = \frac{19}{18}

$$

だから、

$$ t\cdot \frac{19}{18}=1

$$

より、

$$ t=\frac{18}{19}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OS} &= \frac{18}{19}\left( \frac{4}{9}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{9}\mathbf{c} \right)\\ &= \frac{8}{19}\mathbf{a} + \frac{9}{19}\mathbf{b} + \frac{2}{19}\mathbf{c} \end{aligned}

$$

ゆえに、

$$ [\mathrm{p}]=\frac{8}{19},\quad [\mathrm{q}]=\frac{9}{19},\quad [\mathrm{r}]=\frac{2}{19}

$$

である。

解説

この問題では、内分点・外分点・重心を順に位置ベクトルで表すことが基本である。特に外分点 $Q$ は、$OQ:QP=5:1$ であるから、$Q$ が $P$ の先にあり

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{5}{4}\overrightarrow{OP}

$$

となる点に注意する必要がある。

また、点 $S$ を求める場面では、平面 $ABC$ 上の点の特徴を使う。すなわち、

$$ x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}

$$

が平面 $ABC$ 上にあるための条件は

$$ x+y+z=1

$$

である。この条件を、直線 $OG$ 上の点 $t\overrightarrow{OG}$ に適用すればよい。

答え

$$ [\mathrm{a}]=\frac{4}{9},\quad [\mathrm{b}]=\frac{1}{2},\quad [\mathrm{c}]=\frac{1}{9}

$$

$$ [\mathrm{p}]=\frac{8}{19},\quad [\mathrm{q}]=\frac{9}{19},\quad [\mathrm{r}]=\frac{2}{19}

$$