解説

方針・初手

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$，$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=0$ から，まず $x,y$ を決める。

その後，$\angle BAC$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角であるから，内積で $\cos\theta$ を求める。面積は外積または三角形の面積公式で求め，四面体の体積は $\overrightarrow{AD}$ が平面 $ABC$ に垂直であることを利用する。

解法1

点 $A(1,-1,3)$，$B(x,1,0)$，$C(1,y,5)$，$D(-3,1,3)$ より，

$$ \overrightarrow{AD}=D-A=(-4,2,0)

$$

である。

また，

$$ \overrightarrow{AB}=B-A=(x-1,2,-3)

$$

だから，

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} =(x-1)(-4)+2\cdot 2+(-3)\cdot 0 =-4x+8

$$

である。これが $0$ なので，

$$ -4x+8=0

$$

より，

$$ x=2

$$

である。

次に，

$$ \overrightarrow{AC}=C-A=(0,y+1,2)

$$

だから，

$$ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD} =0\cdot (-4)+(y+1)\cdot 2+2\cdot 0 =2y+2

$$

である。これが $0$ なので，

$$ 2y+2=0

$$

より，

$$ y=-1

$$

である。

したがって，

$$ \overrightarrow{AB}=(1,2,-3),\qquad \overrightarrow{AC}=(0,0,2)

$$

となる。

$\theta=\angle BAC$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角であるから，

$$ \cos\theta= \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}|,|\overrightarrow{AC}|}

$$

で求められる。

ここで，

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =1\cdot 0+2\cdot 0+(-3)\cdot 2 =-6

$$

また，

$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{14},\qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{0^2+0^2+2^2}=2

$$

である。よって，

$$ \cos\theta = \frac{-6}{2\sqrt{14}}

-\frac{3}{\sqrt{14}}

$$

である。

次に，$\triangle ABC$ の面積を求める。

$$ \begin{aligned} \sin^2\theta &= 1-\cos^2\theta\\ &= 1-\frac{9}{14}\\ &= \frac{5}{14} \end{aligned} $$

であり，$0<\theta<\pi$ だから，

$$ \sin\theta=\sqrt{\frac{5}{14}}

$$

である。したがって，

$$ \begin{aligned} \triangle ABC\text{ の面積} &= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|,|\overrightarrow{AC}|\sin\theta\\ &= \frac{1}{2}\cdot \sqrt{14}\cdot 2\cdot \sqrt{\frac{5}{14}}\\ &= \sqrt{5} \end{aligned}

$$

である。

最後に，四面体 $ABCD$ の体積を求める。

条件より，

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0,\qquad \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=0

$$

であるから，$\overrightarrow{AD}$ は平面 $ABC$ に垂直である。したがって，四面体 $ABCD$ において，底面を $\triangle ABC$ と見ると，高さは $AD$ である。

$$ AD=|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{(-4)^2+2^2+0^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

$$

よって，四面体 $ABCD$ の体積は，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{3}\cdot \triangle ABC\text{ の面積}\cdot AD &= \frac{1}{3}\cdot \sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}\\ &= \frac{10}{3} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題では，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$，$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=0$ という条件から，$\overrightarrow{AD}$ が $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直であることを読み取るのが重要である。

特に，$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は平面 $ABC$ 上の2つの方向ベクトルであるため，$\overrightarrow{AD}$ は平面 $ABC$ に垂直である。したがって，四面体の高さを新たに求める必要はなく，$AD$ がそのまま高さになる。

面積については，内積から $\cos\theta$ を求め，$\sin\theta$ に変換して面積公式に入れる流れが自然である。

答え

$$ x=2,\qquad y=-1

$$

$$ \cos\theta=-\frac{3}{\sqrt{14}}

$$

$$ \triangle ABC\text{ の面積}=\sqrt{5}

$$

$$ \text{四面体 }ABCD\text{ の体積}=\frac{10}{3}

$$