解説

方針・初手

$\triangle ABC$ の面積は外積で求める。平面 $ABC$ は、同じ外積から法線ベクトルを得て方程式を作る。

四面体 $PABC$ の体積は、底面を $\triangle ABC$ と見れば

$$ V=\frac{1}{3}\cdot \triangle ABC\text{ の面積}\cdot P\text{ から平面 }ABC\text{ までの距離}

$$

である。したがって、球面上の点 $P$ から平面 $ABC$ までの距離を最大にすればよい。

解法1

まず

$$ \overrightarrow{AB}=(-1,1,2),\qquad \overrightarrow{AC}=(-2,-2,2)

$$

である。よって

$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ -1 & 1 & 2\\ -2 & -2 & 2 \end{vmatrix} =(6,-2,4)

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right| &= \sqrt{6^2+(-2)^2+4^2}\\ &= \sqrt{56}\\ &= 2\sqrt{14} \end{aligned} $$

より、三角形 $ABC$ の面積は

$$ \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{14}

$$

である。

次に、平面 $ABC$ の法線ベクトルとして

$$ (3,-1,2)

$$

を取ることができる。点 $A(3,0,0)$ を通るから、平面 $ABC$ の方程式は

$$ 3(x-3)-y+2z=0

$$

すなわち

$$ 3x-y+2z-9=0

$$

である。

原点 $O$ からこの平面に下ろした垂線の足を $H$ とする。平面の法線ベクトルが $(3,-1,2)$ であるから、$H$ は

$$ H=t(3,-1,2)

$$

と表せる。

これを平面の方程式に代入すると

$$ 3(3t)-(-t)+2(2t)-9=0

$$

であり、

$$ 9t+t+4t=9

$$

より

$$ 14t=9,\qquad t=\frac{9}{14}

$$

である。したがって

$$ H= \frac{9}{14}(3,-1,2) = \left(\frac{27}{14},-\frac{9}{14},\frac{9}{7}\right)

$$

である。

最後に、$P=(x,y,z)$ とおく。$P$ は球面 $x^2+y^2+z^2=9$ 上を動く。

平面 $ABC$ から点 $P$ までの距離は

$$ \frac{|3x-y+2z-9|}{\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{|3x-y+2z-9|}{\sqrt{14}}

$$

である。

ここで、ベクトル

$$ \mathbf{n}=(3,-1,2)

$$

とおくと、$|\mathbf{n}|=\sqrt{14}$ である。球面上の点 $P$ に対して、内積 $\mathbf{n}\cdot P=3x-y+2z$ の範囲は

$$ -3\sqrt{14}\le \mathbf{n}\cdot P\le 3\sqrt{14}

$$

である。

よって

$$ |3x-y+2z-9| = |\mathbf{n}\cdot P-9|

$$

を最大にするには、$\mathbf{n}\cdot P$ を最小にすればよい。したがって

$$ \mathbf{n}\cdot P=-3\sqrt{14}

$$

となるとき最大である。

これは $P$ が $\mathbf{n}$ と反対向きの球面上の点、すなわち

$$ P=-3\frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|} = -3\frac{(3,-1,2)}{\sqrt{14}}

$$

のときである。したがって

$$ P= \left( -\frac{9}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, -\frac{6}{\sqrt{14}} \right)

$$

である。

このとき、平面 $ABC$ までの距離は

$$ \frac{|-3\sqrt{14}-9|}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}+9}{\sqrt{14}}

$$

である。

よって体積の最大値は

$$ \begin{aligned} V_{\max} &= \frac{1}{3}\cdot \sqrt{14}\cdot \frac{3\sqrt{14}+9}{\sqrt{14}}\\ &= \frac{3\sqrt{14}+9}{3}\\ &= \sqrt{14}+3 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$\triangle ABC$ を底面と見て、四面体の体積を「底面積 $\times$ 高さ」で処理する点である。

点 $P$ は球面上を動くので、平面 $ABC$ から最も遠い点は、平面の法線方向に沿った球面上の点になる。ただし、平面 $ABC$ は原点から見て法線ベクトル $(3,-1,2)$ の正の側にあるため、距離を最大にする $P$ はその反対方向の端点である。

ここで距離の絶対値を外さずに考えると、近い側の点を選んでしまう危険がある。最大体積では、平面から最も遠い側の球面上の点を取る必要がある。

答え

**(1)**

$$ \triangle ABC\text{ の面積}=\sqrt{14}

$$

**(2)**

$$ H= \left( \frac{27}{14}, -\frac{9}{14}, \frac{9}{7} \right)

$$

**(3)**

$$ V_{\max}=\sqrt{14}+3

$$

そのとき

$$ P= \left( -\frac{9}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}, -\frac{6}{\sqrt{14}} \right)

$$