基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題82 解説
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解説
方針・初手
求めるベクトルを $\vec{x}=(x,y,z)$ とおき、$\vec{x}$ が $\vec{a},\vec{b}$ の両方に垂直であることを内積で表す。さらに大きさが $1$ である条件を加えればよい。
解法1
求めるベクトルを
$$ \vec{x}=(x,y,z)
$$
とおく。
$\vec{x}$ が $\vec{a}=(2,3,2)$ に垂直であるから、
$$ \vec{x}\cdot \vec{a}=0
$$
より
$$ 2x+3y+2z=0
$$
である。
また、$\vec{x}$ が $\vec{b}=(1,0,-2)$ に垂直であるから、
$$ \vec{x}\cdot \vec{b}=0
$$
より
$$ x-2z=0
$$
である。したがって
$$ x=2z
$$
である。
これを $2x+3y+2z=0$ に代入すると、
$$ 2(2z)+3y+2z=0
$$
すなわち
$$ 6z+3y=0
$$
より
$$ y=-2z
$$
となる。
よって、$\vec{x}$ は
$$ \vec{x}=(2z,-2z,z)=z(2,-2,1)
$$
と表される。
さらに、$\vec{x}$ の大きさが $1$ であるから、
$$ |\vec{x}|=|z|\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3|z|=1
$$
である。したがって
$$ |z|=\frac{1}{3}
$$
より、
$$ z=\pm \frac{1}{3}
$$
である。
ゆえに、求めるベクトルは
$$ \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right),\quad \left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)
$$
である。
解説
2つのベクトルに垂直なベクトルは、2つの内積条件から方向が決まる。今回は $\vec{x}=z(2,-2,1)$ と表されるので、あとは大きさが $1$ になるように定数倍を調整すればよい。
垂直条件だけでは向きが反対の2つが残るため、単位ベクトルは必ず正負の2個になる。
答え
$$ [ト]=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right),\quad [チ]=\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)
$$
ただし、$[ト]$ と $[チ]$ は逆でもよい。