基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題84 解説
数学Cの空間ベクトル「空間ベクトル」にある問題84の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$AC$ と $BD$ の垂直条件は、ベクトルの内積で表すのが最も直接的である。
点 $A$ を基準にして、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ を置き、与えられた長さの等式を内積で展開する。すると、ちょうど $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0$ が得られる。
解法1
点 $A$ を原点と考え、次のようにおく。
$$ \overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\qquad \overrightarrow{AC}=\mathbf{c},\qquad \overrightarrow{AD}=\mathbf{d}
$$
このとき、
$$ AB^2=|\mathbf{b}|^2,\quad AC^2=|\mathbf{c}|^2,\quad AD^2=|\mathbf{d}|^2
$$
である。また、
$$ \overrightarrow{BC}=\mathbf{c}-\mathbf{b},\qquad \overrightarrow{CD}=\mathbf{d}-\mathbf{c},\qquad \overrightarrow{BD}=\mathbf{d}-\mathbf{b}
$$
である。
まず、条件
$$ AD^2+BC^2=AB^2+CD^2
$$
をベクトルで書き直すと、
$$ |\mathbf{d}|^2+|\mathbf{c}-\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{b}|^2+|\mathbf{d}-\mathbf{c}|^2
$$
となる。
ここで両辺を展開する。
$$ |\mathbf{d}|^2+\left(|\mathbf{c}|^2-2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}+|\mathbf{b}|^2\right) = |\mathbf{b}|^2+\left(|\mathbf{d}|^2-2\mathbf{c}\cdot\mathbf{d}+|\mathbf{c}|^2\right)
$$
両辺に共通して現れる $|\mathbf{b}|^2,|\mathbf{c}|^2,|\mathbf{d}|^2$ を消去すると、
$$ -2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = -2\mathbf{c}\cdot\mathbf{d}
$$
したがって、
$$ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = \mathbf{c}\cdot\mathbf{d}
$$
である。これを移項すると、
$$ \mathbf{c}\cdot(\mathbf{d}-\mathbf{b})=0
$$
となる。
ここで、
$$ \mathbf{c}=\overrightarrow{AC},\qquad \mathbf{d}-\mathbf{b}=\overrightarrow{BD}
$$
であるから、
$$ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0
$$
である。よって、
$$ AC\perp BD
$$
が成り立つ。
逆に、$AC\perp BD$ とする。このとき、
$$ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0
$$
であるから、
$$ \mathbf{c}\cdot(\mathbf{d}-\mathbf{b})=0
$$
となる。したがって、
$$ \mathbf{c}\cdot\mathbf{d}=\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}
$$
である。
これを上の展開式に逆に代入すれば、
$$ |\mathbf{d}|^2+|\mathbf{c}-\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{b}|^2+|\mathbf{d}-\mathbf{c}|^2
$$
が得られる。すなわち、
$$ AD^2+BC^2=AB^2+CD^2
$$
である。
以上より、$AC$ と $BD$ が垂直であるための必要十分条件は
$$ AD^2+BC^2=AB^2+CD^2
$$
である。
解法2
余弦定理を用いても示せる。
三角形 $ABC$ に余弦定理を用いると、
$$ BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos\angle BAC
$$
である。
また、三角形 $ACD$ に余弦定理を用いると、
$$ CD^2=AD^2+AC^2-2AD\cdot AC\cos\angle CAD
$$
である。
条件
$$ AD^2+BC^2=AB^2+CD^2
$$
にこれらを代入すると、
$$ AD^2+AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos\angle BAC = AB^2+AD^2+AC^2-2AD\cdot AC\cos\angle CAD
$$
となる。
共通部分を消去すると、
$$ AB\cos\angle BAC = AD\cos\angle CAD
$$
である。
ここで、$AB\cos\angle BAC$ は、$\overrightarrow{AB}$ の $AC$ 方向への射影の長さであり、$AD\cos\angle CAD$ は、$\overrightarrow{AD}$ の $AC$ 方向への射影の長さである。
したがって、この等式は点 $B$ と点 $D$ の $AC$ 方向の成分が等しいことを意味する。よって、ベクトル $\overrightarrow{BD}$ は $AC$ 方向の成分をもたない。
すなわち、
$$ BD\perp AC
$$
である。
逆に、$BD\perp AC$ ならば、点 $B$ と点 $D$ の $AC$ 方向の成分は等しい。したがって、
$$ AB\cos\angle BAC = AD\cos\angle CAD
$$
が成り立つ。
この等式を余弦定理の式に戻すと、
$$ AD^2+BC^2=AB^2+CD^2
$$
が得られる。
よって、$AC\perp BD$ と $AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$ は同値である。
解説
この問題の本質は、向かい合う辺 $AC,BD$ の垂直条件を、4本の辺の長さの関係として表すことである。
最も簡潔なのはベクトル解法である。長さの2乗は内積で展開できるため、
$$ |\mathbf{c}-\mathbf{b}|^2,\qquad |\mathbf{d}-\mathbf{c}|^2
$$
を展開すると、不要な項が消えて
$$ \mathbf{c}\cdot(\mathbf{d}-\mathbf{b})=0
$$
だけが残る。
これはそのまま
$$ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0
$$
を意味するので、必要条件と十分条件を同時に示せる。
答え
四面体 $ABCD$ において、
$$ AC\perp BD
$$
であるための必要十分条件は、
$$ AD^2+BC^2=AB^2+CD^2
$$
である。