解説

方針・初手

(1) は $|\vec p|<t$ という条件を使うため、$\vec b=\dfrac{\vec p}{t}$ とおいて $|\vec b|<1$ に直す。すると示すべき不等式は、$\vec a$ を $\vec b$ に平行な成分と垂直な成分に分けることで平方和に帰着できる。

(2) は (1) に

$$ \vec a=\left(\frac12,\frac14,\frac14\right),\qquad \vec p=(x,y,z)

$$

を代入する問題である。

解法1

まず (1) を示す。

$t>0$ より

$$ \vec b=\frac{\vec p}{t}

$$

とおくと、$|\vec p|<t$ から $|\vec b|<1$ である。また、示すべき不等式は両辺を $t^2$ で割って

$$ (\vec a\cdot \vec b-1)^2\geq (1-|\vec a|^2)(1-|\vec b|^2)

$$

を示せばよい。

$\vec b=\vec 0$ のときは、

$$ 1\geq 1-|\vec a|^2

$$

であり、これは $|\vec a|^2\geq 0$ から成り立つ。等号は $|\vec a|=0$、すなわち $\vec a=\vec 0$ のときである。このとき $\vec p=\vec 0=t\vec a$ である。

以下、$\vec b\neq \vec 0$ とする。$\vec a$ を $\vec b$ に平行な成分と垂直な成分に分ける。すなわち、$\vec b$ と同じ向きの単位ベクトルを $\vec e$ とし、

$$ \vec b=r\vec e\qquad (0<r<1)

$$

とおく。また、

$$ \vec a=s\vec e+\vec u,\qquad \vec u\cdot \vec e=0

$$

と表す。このとき

$$ \vec a\cdot \vec b=rs,\qquad |\vec a|^2=s^2+|\vec u|^2,\qquad |\vec b|^2=r^2

$$

である。

したがって、左辺から右辺を引くと

$$ \begin{aligned} &(\vec a\cdot \vec b-1)^2-(1-|\vec a|^2)(1-|\vec b|^2)\\ &=(rs-1)^2-{1-(s^2+|\vec u|^2)}(1-r^2)\\ &=r^2s^2-2rs+1-(1-r^2-s^2-|\vec u|^2+r^2s^2+r^2|\vec u|^2)\\ &=s^2-2rs+r^2+|\vec u|^2(1-r^2)\\ &=(s-r)^2+|\vec u|^2(1-r^2). \end{aligned}

$$

ここで $0<r<1$ だから $1-r^2>0$ である。よって

$$ (s-r)^2+|\vec u|^2(1-r^2)\geq 0

$$

となり、不等式は成り立つ。

等号が成り立つのは

$$ (s-r)^2=0,\qquad |\vec u|^2(1-r^2)=0

$$

が同時に成り立つときである。$1-r^2>0$ だから、これは

$$ s=r,\qquad \vec u=\vec 0

$$

と同値である。したがって

$$ \vec a=s\vec e=r\vec e=\vec b

$$

である。

つまり

$$ \vec a=\frac{\vec p}{t}

$$

であり、

$$ \vec p=t\vec a

$$

である。逆に $\vec p=t\vec a$ なら $\vec b=\vec a$ であり、上の式で等号が成り立つ。

よって等号成立は $\vec p=t\vec a$ のときに限る。

次に (2) を解く。

条件

$$ x^2+y^2+z^2+1=t^2

$$

より、

$$ \vec p=(x,y,z)

$$

とおくと

$$ |\vec p|^2=x^2+y^2+z^2=t^2-1

$$

である。したがって $t>0$ かつ $|\vec p|<t$ が成り立つ。

ここで

$$ \vec a=\left(\frac12,\frac14,\frac14\right)

$$

とおくと、

$$ \vec a\cdot \vec p=\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}

$$

である。また、

$$ |\vec a|^2=\left(\frac12\right)^2+\left(\frac14\right)^2+\left(\frac14\right)^2 =\frac14+\frac1{16}+\frac1{16} =\frac38

$$

である。

(1) より、

$$ \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}-t\right)^2 \geq \left(1-\frac38\right)(t^2-|\vec p|^2)

$$

である。条件から

$$ t^2-|\vec p|^2=1

$$

だから、

$$ \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}-t\right)^2 \geq \frac58

$$

を得る。

等号成立条件は (1) より

$$ \vec p=t\vec a

$$

である。すなわち

$$ x=\frac{t}{2},\qquad y=\frac{t}{4},\qquad z=\frac{t}{4}

$$

である。

これを条件式に代入すると、

$$ \left(\frac{t}{2}\right)^2+\left(\frac{t}{4}\right)^2+\left(\frac{t}{4}\right)^2+1=t^2

$$

より

$$ \frac{t^2}{4}+\frac{t^2}{16}+\frac{t^2}{16}+1=t^2

$$

である。したがって

$$ \frac{3}{8}t^2+1=t^2

$$

となるので、

$$ \frac58t^2=1

$$

より

$$ t^2=\frac85

$$

である。$t>0$ だから

$$ t=\sqrt{\frac85}

$$

である。

このとき

$$ x=\frac12\sqrt{\frac85},\qquad y=\frac14\sqrt{\frac85},\qquad z=\frac14\sqrt{\frac85}

$$

であり、すべて正であるから条件を満たす。したがって最小値は実際に達成される。

解説

(1) は一見するとコーシー・シュワルツの不等式に見えるが、そのままでは等号条件まできれいに出しにくい。$\vec p/t$ を新しいベクトルとして、$\vec a$ をその方向と垂直方向に分解するのが最も自然である。

(2) は (1) の不等式を使うために、一次式

$$ \frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}

$$

を内積と見ることが重要である。条件式の

$$ x^2+y^2+z^2+1=t^2

$$

は、ちょうど

$$ t^2-|\vec p|^2=1

$$

を意味しているため、(1) をそのまま適用できる。

答え

**(1)**

$$ (\vec a\cdot \vec p-t)^2\geq (1-|\vec a|^2)(t^2-|\vec p|^2)

$$

が成り立つ。等号が成り立つのは

$$ \vec p=t\vec a

$$

のときに限る。

**(2)**

$$ \left(\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}-t\right)^2

$$

の最小値は

$$ \frac58

$$

であり、そのとき

$$ t=\sqrt{\frac85}

$$

である。