解説

方針・初手

立方体の3辺を基底ベクトルとして扱う。$\vec{OA}=\vec a,\ \vec{OC}=\vec c,\ \vec{OD}=\vec d$ は互いに垂直で長さが $1$ であるから、内積計算で処理できる。

点 $P,Q$ の位置ベクトルをまず求め、平行四辺形 $OPRQ$ は $\vec{OP},\vec{OQ}$ を隣り合う2辺にもつことを利用する。

解法1

点 $P$ は辺 $AE$ を $t:1-t$ に内分するから、

$$ \vec{OP}=\vec a+t\vec d

$$

である。また、点 $Q$ は辺 $CG$ を $2t:1-2t$ に内分するから、

$$ \vec{OQ}=\vec c+2t\vec d

$$

である。

(1)

$\vec a,\vec c,\vec d$ は互いに垂直で長さが $1$ であるから、

$$ \vec{OP}\cdot\vec{OQ} =(\vec a+t\vec d)\cdot(\vec c+2t\vec d) =2t^2

$$

である。また、

$$ |\vec{OP}|=\sqrt{1+t^2},\qquad |\vec{OQ}|=\sqrt{1+4t^2}

$$

である。

したがって、$\vec{OP}$ と $\vec{OQ}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$$ \begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\vec{OP}\cdot\vec{OQ}}{|\vec{OP}||\vec{OQ}|}\\ &= \frac{2t^2}{\sqrt{(1+t^2)(1+4t^2)}} \end{aligned} $$

となる。

(2)

平行四辺形 $OPRQ$ の面積は、隣り合う2辺 $\vec{OP},\vec{OQ}$ の張る平行四辺形の面積である。

したがって、

$$ S^2 = |\vec{OP}|^2|\vec{OQ}|^2-(\vec{OP}\cdot\vec{OQ})^2

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} S^2 &=(1+t^2)(1+4t^2)-(2t^2)^2\\ &=1+5t^2+4t^4-4t^4\\ &=1+5t^2 \end{aligned}

$$

となる。よって、

$$ S=\sqrt{1+5t^2}

$$

である。

(3)

平面 $\alpha$ は $\vec{OP},\vec{OQ}$ によって張られる平面である。点 $H$ は点 $D$ から平面 $\alpha$ に下ろした垂線の足であるから、$\vec{OH}$ は $\vec{OP},\vec{OQ}$ の一次結合で表せる。

そこで、

$$ \vec{OH}=x\vec{OP}+y\vec{OQ}

$$

とおく。すなわち、

$$ \vec{OH}=x(\vec a+t\vec d)+y(\vec c+2t\vec d)

$$

である。

また、$DH\perp\alpha$ であるから、

$$ (\vec{OD}-\vec{OH})\cdot\vec{OP}=0,\qquad (\vec{OD}-\vec{OH})\cdot\vec{OQ}=0

$$

が成り立つ。

ここで、

$$ \vec{OD}=\vec d

$$

であり、

$$ \vec{OP}\cdot\vec{OP}=1+t^2,\quad \vec{OQ}\cdot\vec{OQ}=1+4t^2,\quad \vec{OP}\cdot\vec{OQ}=2t^2

$$

また、

$$ \vec d\cdot\vec{OP}=t,\qquad \vec d\cdot\vec{OQ}=2t

$$

である。

よって、$x,y$ は

$$ \begin{cases} (1+t^2)x+2t^2y=t,\\ 2t^2x+(1+4t^2)y=2t \end{cases}

$$

を満たす。

これを解くと、

$$ x=\frac{t}{1+5t^2},\qquad y=\frac{2t}{1+5t^2}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \vec{OH} &=\frac{t}{1+5t^2}(\vec a+t\vec d) +\frac{2t}{1+5t^2}(\vec c+2t\vec d)\\ &=\frac{t\vec a+2t\vec c+5t^2\vec d}{1+5t^2} \end{aligned}

$$

となる。

(4)

四角錐 $DOPRQ$ の底面を平行四辺形 $OPRQ$ とみると、その底面積は

$$ S=\sqrt{1+5t^2}

$$

である。

また、点 $D$ から平面 $\alpha$ への距離は $DH$ である。$\vec{OH}$ は $\vec d$ の平面 $\alpha$ への正射影であるから、

$$ DH^2=|\vec d-\vec{OH}|^2

$$

である。

正射影の性質より、

$$ |\vec d-\vec{OH}|^2 = |\vec d|^2-|\vec{OH}|^2

$$

である。また、

$$ |\vec{OH}|^2=\vec d\cdot\vec{OH}

$$

が成り立つので、

$$ \begin{aligned} \vec d\cdot\vec{OH} &= \vec d\cdot \frac{t\vec a+2t\vec c+5t^2\vec d}{1+5t^2}\\ &= \frac{5t^2}{1+5t^2} \end{aligned}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} DH^2 &= 1-\frac{5t^2}{1+5t^2}\\ &= \frac{1}{1+5t^2} \end{aligned} $$

より、

$$ DH=\frac{1}{\sqrt{1+5t^2}}

$$

である。

よって、四角錐 $DOPRQ$ の体積 $V$ は

$$ \begin{aligned} V &=\frac13\cdot S\cdot DH\\ &=\frac13\cdot\sqrt{1+5t^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+5t^2}}\\ &=\frac13 \end{aligned}

$$

となる。したがって、$V$ は $t$ によらず一定である。

解説

この問題では、立方体の3辺を互いに直交する単位ベクトルとして扱うのが最も自然である。点 $P,Q$ の位置ベクトルを求めれば、平行四辺形 $OPRQ$ の面積は $\vec{OP},\vec{OQ}$ の内積から計算できる。

また、垂線の足 $H$ は、$\vec d$ を平面 $\alpha$ に正射影した点である。したがって、$\vec{OH}=x\vec{OP}+y\vec{OQ}$ とおき、$\vec d-\vec{OH}$ が $\vec{OP},\vec{OQ}$ の両方に垂直であることを使えばよい。

最後に、面積 $S=\sqrt{1+5t^2}$ と高さ $DH=1/\sqrt{1+5t^2}$ がちょうど打ち消し合うため、体積は $t$ によらず一定になる。

答え

**(1)**

$$ \cos\theta = \frac{2t^2}{\sqrt{(1+t^2)(1+4t^2)}}

$$

**(2)**

$$ S=\sqrt{1+5t^2}

$$

**(3)**

$$ \vec{OH} = \frac{t\vec a+2t\vec c+5t^2\vec d}{1+5t^2}

$$

**(4)**

$$ V=\frac13

$$

したがって、$V$ は $t$ によらず一定である。