基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題99 解説
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解説
方針・初手
直線と平面の交点は、直線や平面をパラメータ表示または方程式で表して求める。まず直線 $AB$ を $A$ と方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$ で表し、次に平面 $ABC$ の方程式を法線ベクトルから求める。
解法1
まず、
$$ \overrightarrow{AB}=B-A=(1,-1,2),\qquad \overrightarrow{AC}=C-A=(2,4,-2)
$$
である。
直線 $AB$ 上の点を、実数 $\lambda$ を用いて
$$ (x,y,z)=(2,-1,-1)+\lambda(1,-1,2)
$$
とおく。すなわち
$$ (x,y,z)=(2+\lambda,-1-\lambda,-1+2\lambda)
$$
である。
$yz$ 平面は $x=0$ で表されるから、
$$ 2+\lambda=0
$$
より
$$ \lambda=-2
$$
である。したがって、交点 $P$ は
$$ P=(0,1,-5)
$$
である。
次に、平面 $ABC$ の方程式を求める。平面 $ABC$ の法線ベクトルは $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積で与えられる。
$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 1 & -1 & 2\\ 2 & 4 & -2 \end{vmatrix} =(-6,6,6)
$$
よって、法線ベクトルとして $(-1,1,1)$ を用いればよい。点 $A(2,-1,-1)$ を通るから、平面 $ABC$ の方程式は
$$ -(x-2)+(y+1)+(z+1)=0
$$
である。整理して
$$ -x+y+z+4=0
$$
すなわち
$$ x-y-z=4
$$
となる。
$x$ 軸上の点は $(x,0,0)$ と表されるので、これを平面の方程式に代入すると
$$ x=4
$$
である。したがって、交点 $Q$ は
$$ Q=(4,0,0)
$$
である。
また、内積は
$$ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} =(1,-1,2)\cdot(2,4,-2) =2-4-4=-6
$$
である。
さらに、
$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6}
$$
かつ
$$ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}
$$
であるから、
$$ \cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}|,|\overrightarrow{AC}|} = \frac{-6}{\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}}
-\frac{1}{2}
$$
となる。したがって
$$ \angle BAC=\frac{2\pi}{3}
$$
である。
最後に、三角形 $ABC$ の面積は
$$ \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|
$$
で求められる。外積は $(-6,6,6)$ であるから、
$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}| &= \sqrt{(-6)^2+6^2+6^2}\\ &= 6\sqrt{3} \end{aligned} $$
である。よって、
$$ \begin{aligned} \triangle ABC\text{ の面積} &= \frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\\ &= 3\sqrt{3} \end{aligned} $$
である。
解説
直線と座標平面の交点は、直線をパラメータ表示して、座標平面の条件を代入すればよい。今回は $yz$ 平面なので $x=0$ を代入するだけである。
平面と座標軸の交点は、平面の方程式を作ってから、座標軸上の点の形を代入するのが最も確実である。平面 $ABC$ の方程式を作るには、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の外積から法線ベクトルを求める。
角度と面積については、内積が角度、外積が面積に対応する。特に
$$ \cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}|,|\overrightarrow{AC}|}
$$
と
$$ \triangle ABC\text{ の面積} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|
$$
を正確に使えばよい。
答え
$$ \boxed{\text{カ}=(0,1,-5)}
$$
$$ \boxed{\text{キ}=(4,0,0)}
$$
$$ \boxed{\text{ク}=-6}
$$
$$ \boxed{\text{ケ}=\frac{2\pi}{3}}
$$
$$ \boxed{\text{コ}=3\sqrt{3}}
$$