解説

方針・初手

点 $P,Q,R$ の位置ベクトルをまず $\vec a,\vec b,\vec c$ で表す。正四面体であるから、各辺の長さは $1$ であり、

$$ |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1,\qquad \vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec c=\vec c\cdot \vec a=\frac12

$$

を用いて内積条件を処理する。

解法1

点 $P$ は辺 $OA$ を $1-t:t$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OP}=(1-t)\vec a

$$

である。

また、点 $Q$ は辺 $OB$ を $t:1-t$ に内分する点なので、

$$ \overrightarrow{OQ}=t\vec b

$$

である。さらに $R$ は辺 $BC$ の中点だから、

$$ \overrightarrow{OR}=\frac{\vec b+\vec c}{2}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{QP} &= \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}\\ &= (1-t)\vec a-t\vec b \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{QR} &= \overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}\\ &= \frac{\vec b+\vec c}{2}-t\vec b \end{aligned} \left(\frac12-t\right)\vec b+\frac12\vec c

$$

である。

次に、$\overrightarrow{QP}\perp \overrightarrow{QR}$ となる条件は

$$ \overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR}=0

$$

である。

計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR} &={(1-t)\vec a-t\vec b}\cdot \left\{\left(\frac12-t\right)\vec b+\frac12\vec c\right\}\\ &=(1-t)\left\{\left(\frac12-t\right)\vec a\cdot\vec b+\frac12\vec a\cdot\vec c\right\} -t\left\{\left(\frac12-t\right)\vec b\cdot\vec b+\frac12\vec b\cdot\vec c\right\}\\ &=(1-t)\left\{\left(\frac12-t\right)\frac12+\frac12\cdot\frac12\right\} -t\left\{\left(\frac12-t\right)+\frac12\cdot\frac12\right\}\\ &=(1-t)\left(\frac12-\frac t2\right)-t\left(\frac34-t\right)\\ &=\frac{(1-t)^2}{2}-\frac{3t}{4}+t^2\\ &=\frac12-\frac{7t}{4}+\frac{3t^2}{2}. \end{aligned}

$$

よって、

$$ \frac12-\frac{7t}{4}+\frac{3t^2}{2}=0

$$

である。両辺を $4$ 倍して、

$$ 2-7t+6t^2=0

$$

すなわち、

$$ 6t^2-7t+2=0

$$

となる。これを因数分解すると、

$$ (2t-1)(3t-2)=0

$$

であるから、

$$ t=\frac12,\quad \frac23

$$

である。いずれも $0<t<1$ を満たす。

最後に、三角形 $PQR$ の面積を求める。上で求めた $t$ では $\overrightarrow{QP}\perp\overrightarrow{QR}$ であるから、

$$ \triangle PQR=\frac12|\overrightarrow{QP}|,|\overrightarrow{QR}|

$$

を用いればよい。

まず、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{QP}|^2 &=|(1-t)\vec a-t\vec b|^2\\ &=(1-t)^2+t^2-2t(1-t)\vec a\cdot\vec b\\ &=(1-t)^2+t^2-t(1-t)\\ &=1-3t+3t^2 \end{aligned}

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{QR}|^2 &=\left|\left(\frac12-t\right)\vec b+\frac12\vec c\right|^2\\ &=\left(\frac12-t\right)^2+\frac14 +2\left(\frac12-t\right)\frac12\vec b\cdot\vec c\\ &=\left(\frac12-t\right)^2+\frac14+\left(\frac12-t\right)\frac12\\ &=t^2-\frac32t+\frac34 \end{aligned}

$$

である。

**(i)**

$t=\frac12$ のとき

$$ |\overrightarrow{QP}|^2=1-\frac32+\frac34=\frac14

$$

であり、

$$ |\overrightarrow{QR}|^2=\frac14-\frac34+\frac34=\frac14

$$

である。したがって、

$$ \triangle PQR=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18

$$

である。

**(ii)**

$t=\frac23$ のとき

$$ |\overrightarrow{QP}|^2 =1-2+\frac43 =\frac13

$$

であり、

$$ |\overrightarrow{QR}|^2 =\frac49-1+\frac34 =\frac{7}{36}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \triangle PQR &= \frac12\cdot\sqrt{\frac13}\cdot\sqrt{\frac{7}{36}}\\ &= \frac{\sqrt{21}}{36} \end{aligned} $$

である。

解説

正四面体の頂点から出る $3$ 本の辺ベクトルは、長さがすべて $1$ で、互いのなす角が $60^\circ$ である。そのため、内積はすべて $\frac12$ になる。

この問題では、点 $P,Q,R$ の位置ベクトルを正確に表すことが最も重要である。特に、内分比 $1-t:t$ の点 $P$ は $\overrightarrow{OP}=(1-t)\vec a$ であり、内分比 $t:1-t$ の点 $Q$ は $\overrightarrow{OQ}=t\vec b$ である。ここを逆にすると以後の計算がすべて崩れる。

垂直条件は内積 $0$ に帰着できる。面積については、(2) の条件により $\overrightarrow{QP}$ と $\overrightarrow{QR}$ が垂直であるため、外積やヘロンの公式を使わずに直角三角形の面積として求められる。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{QP}=(1-t)\vec a-t\vec b

$$

$$ \overrightarrow{QR} = \left(\frac12-t\right)\vec b+\frac12\vec c

$$

**(2)**

$$ t=\frac12,\quad \frac23

$$

**(3)**

$$ t=\frac12\text{ のとき }\frac18

$$

$$ t=\frac23\text{ のとき }\frac{\sqrt{21}}{36}

$$