基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題108 解説
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解説
方針・初手
直線上の点を媒介変数で表し、$xy$ 平面上にある条件 $z=0$ を使って交点を求める。
解法1
点 $A(0,0,1)$ から点 $B\left(\dfrac12,\dfrac12,\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ へ向かうベクトルは
$$ \overrightarrow{AB} = \left(\frac12,\frac12,\frac{1}{\sqrt2}-1\right)
$$
である。
したがって、直線 $AB$ 上の点を実数 $t$ を用いて
$$ (x,y,z) = (0,0,1) + t\left(\frac12,\frac12,\frac{1}{\sqrt2}-1\right)
$$
と表すことができる。
各成分は
$$ x=\frac{t}{2},\qquad y=\frac{t}{2},\qquad z=1+t\left(\frac{1}{\sqrt2}-1\right)
$$
である。
この点が $xy$ 平面上にあるとき、$z=0$ であるから、
$$ 1+t\left(\frac{1}{\sqrt2}-1\right)=0
$$
を解けばよい。
$$ t\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)=1
$$
より、
$$ t=\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt2}}
$$
である。分母を整理すると、
$$ t =
\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt2}}
\frac{\sqrt2}{\sqrt2-1}
\frac{\sqrt2(\sqrt2+1)}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}
2+\sqrt2
$$
となる。
したがって、
$$ x=\frac{t}{2} = \frac{2+\sqrt2}{2}, \qquad y=\frac{t}{2} = \frac{2+\sqrt2}{2}
$$
である。
また、
$$ \frac{2+\sqrt2}{2} = \frac{1}{2-\sqrt2}
$$
が成り立つ。実際、
$$ \begin{aligned} \frac{1}{2-\sqrt2} &= \frac{2+\sqrt2}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}\\ &= \frac{2+\sqrt2}{2} \end{aligned} $$
である。
よって交点の座標は
$$ \left(\frac{1}{2-\sqrt2},\frac{1}{2-\sqrt2},0\right)
$$
である。
解説
直線と $xy$ 平面の交点を求める問題では、直線を媒介変数で表し、$xy$ 平面の条件 $z=0$ を代入するのが基本である。
この問題では、点 $B$ の $z$ 座標が $1/\sqrt2$ であり、点 $A$ の $z$ 座標 $1$ より小さい。したがって、$xy$ 平面との交点は点 $B$ をさらに進んだ先にあるため、$x,y$ 座標が $\dfrac12$ より大きくなることも確認できる。
また、答えの形が
$$ \left(\frac{1}{\boxed{\phantom{a}}},\frac{1}{\boxed{\phantom{a}}},0\right)
$$
で与えられているので、最後に
$$ \frac{2+\sqrt2}{2} = \frac{1}{2-\sqrt2}
$$
と変形する必要がある。
答え
$$ \left(\frac{1}{2-\sqrt2},\frac{1}{2-\sqrt2},0\right)
$$
したがって、空欄に入る値は
$$ 2-\sqrt2
$$