解説

方針・初手

点 $D,E,F,P$ の位置ベクトルを順に求める。点 $Q$ は直線 $DP$ 上にあり、かつ平面 $ABC$ 上にあるので、直線 $DP$ をパラメータ表示し、平面 $ABC$ の条件を用いて決定する。

正四面体の1辺の長さが $1$ であるから、

$$ |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1,\qquad \vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec c=\vec c\cdot \vec a=\frac12

$$

である。

解法1

点 $D,E,F$ の位置ベクトルは、内分比より

$$ \overrightarrow{OD}=\frac13\vec a,\qquad \overrightarrow{OE}=\frac23\vec b,\qquad \overrightarrow{OF}=\frac12\vec c

$$

である。

点 $P$ は線分 $EF$ を $2:1$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1\cdot \overrightarrow{OE}+2\cdot \overrightarrow{OF}}{3}

$$

となる。したがって、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\cdot \frac23\vec b + \frac{2}{3}\cdot \frac12\vec c = \frac29\vec b+\frac13\vec c

$$

である。

次に、直線 $DP$ 上の点を

$$ \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OD} + t\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OD}\right)

$$

とおく。これに $D,P$ の位置ベクトルを代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR} &= \frac13\vec a + t\left( \frac29\vec b+\frac13\vec c-\frac13\vec a \right)\\ &= \frac{1-t}{3}\vec a+\frac{2t}{9}\vec b+\frac{t}{3}\vec c \end{aligned}

$$

である。

点 $R$ が平面 $ABC$ 上にあるための条件を考える。平面 $ABC$ 上の点は

$$ x\vec a+y\vec b+z\vec c

$$

と表されるとき、

$$ x+y+z=1

$$

を満たす。

したがって、点 $R$ が平面 $ABC$ 上にある条件は

$$ \frac{1-t}{3}+\frac{2t}{9}+\frac{t}{3}=1

$$

である。これを解くと、

$$ \frac13+\frac{2t}{9}=1

$$

より、

$$ t=3

$$

を得る。よって $R=Q$ として、

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{1-3}{3}\vec a+\frac{2\cdot 3}{9}\vec b+\frac{3}{3}\vec c

-\frac23\vec a+\frac23\vec b+\vec c

$$

である。

最後に $|\overrightarrow{BQ}|$ を求める。

$$ \overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OB}

-\frac23\vec a-\frac13\vec b+\vec c

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{BQ}|^2 &= \left|-\frac23\vec a-\frac13\vec b+\vec c\right|^2\\ &= \frac49+\frac19+1 + 2\left\{ \left(-\frac23\right)\left(-\frac13\right)\frac12 + \left(-\frac13\right)(1)\frac12 + (1)\left(-\frac23\right)\frac12 \right\}\\ &= \frac{14}{9} + 2\left( \frac19-\frac16-\frac13 \right)\\ &= \frac{14}{9}-\frac79\\ &= \frac79 \end{aligned}

$$

よって、

$$ |\overrightarrow{BQ}|=\frac{\sqrt7}{3}

$$

である。

解説

この問題では、正四面体であることから $\vec a,\vec b,\vec c$ の長さと内積がすぐに決まる点が重要である。

また、平面 $ABC$ 上の点を

$$ x\vec a+y\vec b+z\vec c

$$

と表したとき、条件が $x+y+z=1$ になることを使うと、直線と平面の交点を機械的に求められる。

内分点の公式では、線分 $EF$ を $2:1$ に内分する点 $P$ は

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1\cdot \overrightarrow{OE}+2\cdot \overrightarrow{OF}}{3}

$$

となる。比の重みが反対側の点にかかることに注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{OP} = \frac29\vec b+\frac13\vec c

$$

**(2)**

$$ \overrightarrow{OQ} = -\frac23\vec a+\frac23\vec b+\vec c

$$

**(3)**

$$ |\overrightarrow{BQ}|=\frac{\sqrt7}{3}

$$