解説

方針・初手

空間ベクトルの垂直条件は内積 $0$ で表す。点 $P$ は $P(p,q,4)$ と与えられているので、$\overrightarrow{OP}=(p,q,4)$ とおいて条件を式に直す。

また、最小値の問題では、$|\vec{v}|$ の最小化は $|\vec{v}|^2$ の最小化に置き換えると扱いやすい。

解法1

まず、各ベクトルを求める。

$$ \overrightarrow{OA}=(1,-4,5),\quad \overrightarrow{OB}=(1,2,-1),\quad \overrightarrow{OP}=(p,q,4)

$$

また、

$$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} =(0,6,-6)

$$

$$ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} =(1,-1,0)

$$

**(1)**

$\overrightarrow{OP}$ が $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BC}$ の両方に垂直であるから、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\quad \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BC}=0

$$

である。

それぞれ計算すると、

$$ (p,q,4)\cdot(0,6,-6)=6q-24=0

$$

より、

$$ q=4

$$

また、

$$ (p,q,4)\cdot(1,-1,0)=p-q=0

$$

より、

$$ p=q

$$

したがって、

$$ p=4,\quad q=4

$$

である。

**(2)**

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OP}$ が垂直であるから、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=0

$$

すなわち、

$$ (1,-4,5)\cdot(p,q,4)=p-4q+20=0

$$

よって、

$$ p-4q=-20

$$

次に、

$$ |\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{OB}|

$$

が $s=-2$ で最小になる条件を考える。

長さの最小化は、その2乗

$$ |\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{OB}|^2

$$

の最小化と同値である。

ここで、

$$ f(s)=|\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{OB}|^2

$$

とおくと、

$$ f(s)=|\overrightarrow{OP}|^2 +2s(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}) +s^2|\overrightarrow{OB}|^2

$$

である。これが $s=-2$ で最小になるので、

$$ f'(-2)=0

$$

が成り立つ。

$$ f'(s)=2(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}) +2s|\overrightarrow{OB}|^2

$$

より、

$$ 2(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}) -4|\overrightarrow{OB}|^2=0

$$

したがって、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB} =2|\overrightarrow{OB}|^2

$$

である。

ここで、

$$ |\overrightarrow{OB}|^2=1^2+2^2+(-1)^2=6

$$

だから、

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}=12

$$

一方、

$$ (p,q,4)\cdot(1,2,-1)=p+2q-4

$$

なので、

$$ p+2q-4=12

$$

すなわち、

$$ p+2q=16

$$

これと $p-4q=-20$ を連立する。

$$ \begin{cases} p-4q=-20\\ p+2q=16 \end{cases}

$$

下の式から上の式を引くと、

$$ 6q=36

$$

よって、

$$ q=6

$$

これを $p+2q=16$ に代入して、

$$ p+12=16

$$

したがって、

$$ p=4

$$

である。

**(3)**

求めるものは

$$ \left|\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}\right|

$$

の最小値である。

ここで、

$$ \vec{v} = \overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}

$$

とおく。

$\vec{v}$ の長さが最小になるとき、$\vec{v}$ は平面を張る2つの方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$ の両方に垂直である。したがって、

$$ \vec{v}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\quad \vec{v}\cdot\overrightarrow{BC}=0

$$

を満たせばよい。

まず、必要な内積を計算する。

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB} =(1,-4,5)\cdot(0,6,-6) =-54

$$

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} =0^2+6^2+(-6)^2=72

$$

$$ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB} =(1,-1,0)\cdot(0,6,-6) =-6

$$

よって、

$$ \vec{v}\cdot\overrightarrow{AB}=0

$$

は、

$$ -54+72s-6t=0

$$

すなわち、

$$ 12s-t=9

$$

である。

次に、

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC} =(1,-4,5)\cdot(1,-1,0)=5

$$

$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} =-6

$$

$$ \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC} =1^2+(-1)^2+0^2=2

$$

より、

$$ \vec{v}\cdot\overrightarrow{BC}=0

$$

は、

$$ 5-6s+2t=0

$$

である。

したがって、

$$ \begin{cases} 12s-t=9\\ 5-6s+2t=0 \end{cases}

$$

を解く。

第1式から、

$$ t=12s-9

$$

これを第2式に代入して、

$$ 5-6s+2(12s-9)=0

$$

$$ 18s-13=0

$$

よって、

$$ s=\frac{13}{18}

$$

また、

$$ t=12\cdot\frac{13}{18}-9 =\frac{26}{3}-9 =-\frac{1}{3}

$$

このとき、

$$ \vec{v} = (1,-4,5) +\frac{13}{18}(0,6,-6) -\frac{1}{3}(1,-1,0)

$$

である。

成分ごとに計算すると、

$$ \vec{v} = \left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)

$$

したがって、最小値は

$$ \left|\vec{v}\right| = \sqrt{ \left(\frac{2}{3}\right)^2 +\left(\frac{2}{3}\right)^2 +\left(\frac{2}{3}\right)^2 } =

\sqrt{\frac{4}{3}}

\frac{2\sqrt{3}}{3}

$$

である。

解法2

**(3)**

については、平面と原点の距離として考えると速い。

点

$$ \overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}

$$

は、$s,t$ がすべての実数を動くとき、点 $A$ を通り、方向ベクトル $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$ をもつ平面全体を動く。

したがって、

$$ \left|\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}\right|

$$

の最小値は、原点 $O$ から平面 $ABC$ までの距離である。

平面 $ABC$ の法線ベクトルを求める。$\overrightarrow{AB}=(0,6,-6)$、$\overrightarrow{BC}=(1,-1,0)$ に垂直なベクトルとして、

$$ (1,1,1)

$$

が使える。実際、

$$ (1,1,1)\cdot(0,6,-6)=0

$$

$$ (1,1,1)\cdot(1,-1,0)=0

$$

である。

よって、平面 $ABC$ の方程式は

$$ x+y+z=d

$$

とおける。点 $A(1,-4,5)$ を通るので、

$$ 1+(-4)+5=2

$$

より、

$$ x+y+z=2

$$

である。

原点から平面 $x+y+z=2$ までの距離は、

$$ \begin{aligned} \frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} &= \frac{2}{\sqrt{3}}\\ &= \frac{2\sqrt{3}}{3} \end{aligned} $$

である。

したがって、最小値は

$$ \frac{2\sqrt{3}}{3}

$$

である。

解説

この問題の中心は、垂直条件を内積で表すことと、最小値を「射影」または「平面との距離」として処理することである。

**(1)**

は条件をそのまま内積 $0$ にすればよい。

**(2)**

では、$|\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{OB}|$ を直接扱うより、その2乗を $s$ の2次関数として考えるのが自然である。最小となる $s$ が指定されているので、導関数がその値で $0$ になることを使う。

**(3)**

は、計算で解くなら「最短ベクトルは平面内の2方向に垂直」という条件を使う。別解のように、平面 $ABC$ の方程式を求めて原点からの距離に直すと、より短く処理できる。

答え

**(1)**

$$ p=4,\quad q=4

$$

**(2)**

$$ p=4,\quad q=6

$$

**(3)**

$$ \frac{2\sqrt{3}}{3}

$$