解説

方針・初手

点 $D,E,F$ の位置ベクトルをまず $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ で表す。重心 $G$ は3点の位置ベクトルの平均で求まる。

さらに、直線 $OG$ 上の点を $t\overrightarrow{OG}$ とおき、その点が平面 $ABC$ 上にある条件を使って $H$ を求める。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf a,\ \overrightarrow{OB}=\mathbf b,\ \overrightarrow{OC}=\mathbf c$ とおく。

$D$ は辺 $OA$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\mathbf a

$$

である。

また、$E$ は辺 $OB$ を $1:3$ に内分する点なので、$OE:EB=1:3$ より

$$ \overrightarrow{OE}=\frac{1}{4}\mathbf b

$$

である。同様に、

$$ \overrightarrow{OF}=\frac{1}{4}\mathbf c

$$

である。

したがって、三角形 $DEF$ の重心 $G$ の位置ベクトルは

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OG} &=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}\right)\\ &=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\mathbf a+\frac{1}{4}\mathbf b+\frac{1}{4}\mathbf c\right)\\ &=\frac{1}{6}\mathbf a+\frac{1}{12}\mathbf b+\frac{1}{12}\mathbf c \end{aligned}

$$

である。よって、

$$ \overrightarrow{OG} =\frac{1}{6}\overrightarrow{OA} +\frac{1}{12}\overrightarrow{OB} +\frac{1}{12}\overrightarrow{OC}

$$

である。

次に、直線 $OG$ 上の点は、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OX}=t\overrightarrow{OG}

$$

と表せる。

この点が平面 $ABC$ 上にあるためには、$\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ の係数の和が $1$ であればよい。実際、平面 $ABC$ 上の点は

$$ \lambda \mathbf a+\mu \mathbf b+\nu \mathbf c \quad (\lambda+\mu+\nu=1)

$$

と表される。

いま

$$ t\overrightarrow{OG} =\frac{t}{6}\mathbf a+\frac{t}{12}\mathbf b+\frac{t}{12}\mathbf c

$$

であるから、係数の和が $1$ になる条件は

$$ \frac{t}{6}+\frac{t}{12}+\frac{t}{12}=1

$$

である。左辺を整理すると、

$$ \frac{t}{3}=1

$$

より、

$$ t=3

$$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG} =\frac{1}{2}\mathbf a+\frac{1}{4}\mathbf b+\frac{1}{4}\mathbf c

$$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AH} &=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}\\ &=\left(\frac{1}{2}\mathbf a+\frac{1}{4}\mathbf b+\frac{1}{4}\mathbf c\right)-\mathbf a\\ &=-\frac{1}{2}\mathbf a+\frac{1}{4}\mathbf b+\frac{1}{4}\mathbf c \end{aligned}

$$

となる。

正四面体の一辺の長さは $1$ であるから、

$$ |\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=1

$$

である。また、三角形 $OAB, OBC, OCA$ はいずれも正三角形なので、

$$ \mathbf a\cdot \mathbf b =\mathbf b\cdot \mathbf c =\mathbf c\cdot \mathbf a =\frac{1}{2}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} AH^2 &=\left|-\frac{1}{2}\mathbf a+\frac{1}{4}\mathbf b+\frac{1}{4}\mathbf c\right|^2\\ &=\frac{1}{4}|\mathbf a|^2+\frac{1}{16}|\mathbf b|^2+\frac{1}{16}|\mathbf c|^2 +2\left(-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{4}\mathbf a\cdot\mathbf b\\ &\quad +2\left(-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{4}\mathbf a\cdot\mathbf c +2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\mathbf b\cdot\mathbf c\\ &=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16} -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} +\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}\\ &=\frac{3}{8}-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\\ &=\frac{3}{16} \end{aligned}

$$

よって、

$$ AH=\frac{\sqrt{3}}{4}

$$

である。

解説

この問題では、まず各点の位置ベクトルを正確に置くことが重要である。特に、$1:3$ に内分する点は、始点側から全体の $\frac{1}{4}$ の位置にあるので、

$$ \overrightarrow{OE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}, \quad \overrightarrow{OF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}

$$

となる。

また、$H$ は直線 $OG$ と平面 $ABC$ の交点である。平面 $ABC$ 上の点を $\lambda\mathbf a+\mu\mathbf b+\nu\mathbf c$ と表すとき、係数の和が $1$ になるという条件を使うと、交点の位置が素早く求まる。

最後の長さ計算では、正四面体の各面が正三角形であることから、隣り合う辺ベクトルの内積がすべて $\frac{1}{2}$ になる点を使う。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} +\frac{1}{12}\overrightarrow{OB} +\frac{1}{12}\overrightarrow{OC}

$$

**(2)**

$$ AH=\frac{\sqrt{3}}{4}

$$