基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題114 解説
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解説
方針・初手
$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{BC}$ はどちらも具体的に成分で表せるので，まずこれらを求める。
$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の両方に垂直なベクトルは，外積から求める。また，内分点 $P,Q$ はパラメータ $s,t$ を用いて成分表示し，垂直条件は内積が $0$ であることに帰着させる。
解法1
まず
$$ \overrightarrow{OA}=(1,1,-1)
$$
である。また，
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= C-B\\ &= (4k+4,-2k,-k)-(4k,-2k+2,-k+1)\\ &= (4,-2,-1) \end{aligned} $$
である。
(1)
$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の両方に垂直なベクトルは，$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の外積に平行である。
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{BC} &= (1,1,-1)\times(4,-2,-1) \\ &= (-3,-3,-6) \\ &= -3(1,1,2) \end{aligned}
$$
したがって，求める単位ベクトルは $(1,1,2)$ に平行である。
$(1,1,2)$ の大きさは
$$ \sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}
$$
であるから，求めるベクトルは
$$ \vec{n}=\pm \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2)
$$
である。
(2)
点 $P$ は辺 $OA$ を $s:(1-s)$ に内分するので，
$$ P=sA+(1-s)O=sA
$$
より，
$$ P=(s,s,-s)
$$
である。
点 $Q$ は辺 $BC$ を $t:(1-t)$ に内分するので，
$$ Q=(1-t)B+tC=B+t(C-B)
$$
である。よって
$$ \begin{aligned} Q &=(4k,-2k+2,-k+1)+t(4,-2,-1) \\ &=(4k+4t,-2k+2-2t,-k+1-t) \end{aligned}
$$
である。
したがって，
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &=Q-P \\ &=(4k+4t-s,-2k+2-2t-s,-k+1-t+s) \end{aligned}
$$
である。
(3)
$\overrightarrow{PQ}$ が $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の両方に垂直であるから，
$$ \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OA}=0
$$
かつ
$$ \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{BC}=0
$$
である。
まず $\overrightarrow{OA}=(1,1,-1)$ との内積を計算すると，
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{OA} &=(4k+4t-s)+(-2k+2-2t-s)-(-k+1-t+s) \\ &=3k+3t-3s+1 \end{aligned}
$$
である。よって
$$ 3k+3t-3s+1=0
$$
を得る。
次に $\overrightarrow{BC}=(4,-2,-1)$ との内積を計算すると，
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{BC} &=4(4k+4t-s)-2(-2k+2-2t-s)-(-k+1-t+s) \\ &=21k+21t-3s-5 \end{aligned}
$$
である。よって
$$ 21k+21t-3s-5=0
$$
を得る。
これらを整理すると，
$$ s=k+t+\frac{1}{3}
$$
および
$$ s=7k+7t-\frac{5}{3}
$$
である。したがって
$$ k+t+\frac{1}{3}=7k+7t-\frac{5}{3}
$$
より，
$$ 6k+6t=2
$$
すなわち
$$ k+t=\frac{1}{3}
$$
である。
これを $s=k+t+\frac{1}{3}$ に代入して，
$$ s=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
$$
を得る。また，
$$ t=\frac{1}{3}-k
$$
である。
したがって，
$$ P=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)
$$
である。
また，
$$ \begin{aligned} Q &=(4k+4t,-2k+2-2t,-k+1-t) \\ &=\left(4k+4\left(\frac{1}{3}-k\right),-2k+2-2\left(\frac{1}{3}-k\right),-k+1-\left(\frac{1}{3}-k\right)\right) \\ &=\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right) \end{aligned}
$$
である。
ただし，$P,Q$ は内分点であるから，$0<s<1,\ 0<t<1$ が必要である。$s=\frac{2}{3}$ はこれを満たす。一方，
$$ 0<\frac{1}{3}-k<1
$$
より，
$$ -\frac{2}{3}<k<\frac{1}{3}
$$
である。
解説
この問題では，$\overrightarrow{BC}$ が
$$ \overrightarrow{BC}=(4,-2,-1)
$$
となり，$k$ によらないことが重要である。
(1) は，2つのベクトルの両方に垂直な方向を外積で求める典型問題である。符号が反対のものも単位ベクトルとして条件を満たすため，必ず $\pm$ をつける。
(3) では，$\overrightarrow{PQ}$ を成分で表したうえで，垂直条件を内積 $0$ に直す。未知数は $s,t$ であり，$k$ は定数として扱う。最後に $P,Q$ が内分点である条件 $0<s<1,\ 0<t<1$ を確認する必要がある。
答え
**(1)**
$$ \vec{n}=\pm \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2)
$$
**(2)**
$$ \overrightarrow{PQ} = (4k+4t-s,-2k+2-2t-s,-k+1-t+s)
$$
**(3)**
$$ -\frac{2}{3}<k<\frac{1}{3}
$$
のとき，
$$ P=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right), \qquad Q=\left(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{2}{3}\right)
$$
である。