解説

方針・初手

点 $D,E,F$ は外分点なので，$O$ を原点としてベクトルで表すと単純になる。四面体の頂点 $O,A,B,C$ は同一平面上にないから，$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立である。したがって，各点の位置ベクトルの係数を比較できる。

$Q$ を線分 $EC$ 上の点として $EQ:QC$ を文字で置き，$R$ を直線 $DF$ 上の点として置く。さらに $P,Q,R$ が一直線上にある条件を，$Q$ が直線 $PR$ 上にあることとして式にする。

解法1

$O$ を原点とし，

$$ \overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\quad \overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\quad \overrightarrow{OC}=\mathbf{c}

$$

とおく。

$D$ は辺 $OA$ を $2:1$ に外分する点であるから，

$$ \overrightarrow{OD}=2\mathbf{a}

$$

である。同様に，

$$ \overrightarrow{OE}=3\mathbf{b},\quad \overrightarrow{OF}=4\mathbf{c}

$$

である。

また，$P$ は $AB$ の中点なので，

$$ \overrightarrow{OP} =\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}

$$

である。

$Q$ は線分 $EC$ 上にあるので，$EQ:QC=t:(1-t)$ とおく。ただし $0<t<1$ である。このとき，

$$ \overrightarrow{OQ} =(1-t)\overrightarrow{OE}+t\overrightarrow{OC} =3(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c}

$$

となる。

また，$R$ は直線 $DF$ 上にあるので，実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} =(1-s)\overrightarrow{OD}+s\overrightarrow{OF} =2(1-s)\mathbf{a}+4s\mathbf{c}

$$

と表せる。

$P,Q,R$ が一直線上にあるから，実数 $u$ を用いて

$$ \overrightarrow{OQ} =(1-u)\overrightarrow{OP}+u\overrightarrow{OR}

$$

と書ける。

これに各点の位置ベクトルを代入すると，

$$ 3(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c} =(1-u)\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2} +u{2(1-s)\mathbf{a}+4s\mathbf{c}}

$$

である。

右辺を整理すると，

$$ 3(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c} = \left\{\frac{1-u}{2}+2u(1-s)\right\}\mathbf{a} +\frac{1-u}{2}\mathbf{b} +4us\mathbf{c}

$$

となる。

$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ は一次独立であるから，係数を比較して，

$$ \begin{cases} 0=\dfrac{1-u}{2}+2u(1-s),\\[6pt] 3(1-t)=\dfrac{1-u}{2},\\[6pt] t=4us \end{cases}

$$

を得る。

第1式を整理すると，

$$ 0=\frac{1-u}{2}+2u(1-s)

$$

より，

$$ 0=1-u+4u(1-s)

$$

すなわち

$$ 1+3u-4us=0

$$

である。ここで第3式 $t=4us$ を用いると，

$$ 1+3u-t=0

$$

だから，

$$ t=1+3u

$$

である。

一方，第2式より，

$$ 6(1-t)=1-u

$$

であるから，

$$ u=6t-5

$$

である。

これを $t=1+3u$ に代入すると，

$$ t=1+3(6t-5)

$$

より，

$$ t=1+18t-15

$$

したがって，

$$ 17t=14

$$

となる。よって，

$$ t=\frac{14}{17}

$$

である。

したがって，

$$ EQ:QC=t:(1-t)=\frac{14}{17}:\frac{3}{17}=14:3

$$

である。

次に $PQ:QR$ を求める。先ほど

$$ u=6t-5

$$

であったから，

$$ u=6\cdot \frac{14}{17}-5 =\frac{84}{17}-\frac{85}{17} =-\frac{1}{17}

$$

である。

$Q$ は

$$ \overrightarrow{OQ} =(1-u)\overrightarrow{OP}+u\overrightarrow{OR}

$$

で表され，$u=-\dfrac{1}{17}$ である。これは直線 $PR$ 上で，$P$ を基準にして $R$ と反対側に $Q$ があることを意味する。

実際，

$$ \overrightarrow{PQ} =u\overrightarrow{PR} =-\frac{1}{17}\overrightarrow{PR}

$$

であるから，

$$ PQ=\frac{1}{17}PR

$$

である。また，$P$ は $Q$ と $R$ の間にあるので，

$$ QR=QP+PR =\frac{1}{17}PR+PR =\frac{18}{17}PR

$$

となる。

よって，

$$ PQ:QR=1:18

$$

である。

解説

外分点を扱うときは，まず位置ベクトルで表してしまうのが最も安全である。この問題では

$$ D=2A,\quad E=3B,\quad F=4C

$$

のように，外分比の差が $1$ になるため，係数が非常に単純になる。

また，$Q$ が線分 $EC$ 上にあることから $0<t<1$ と置ける。一方，$R$ は「線分 $DF$ 上」ではなく「直線 $DF$ 上」であるため，パラメータ $s$ は任意の実数として扱う必要がある。実際，計算すると $s=-\dfrac{7}{2}$ となり，$R$ は線分 $DF$ の外側にある。

最後に注意すべき点は，$u=-\dfrac{1}{17}$ となるため，$Q$ は $P$ と $R$ の間ではなく，$P$ をはさんで $R$ と反対側にあることである。そのため，$PQ:QR$ は $1:17$ ではなく，$1:18$ になる。

答え

$$ EQ:QC=14:3

$$

$$ PQ:QR=1:18

$$