解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}$ を基底として座標化する。与条件

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}

$$

から $\overrightarrow{OC}$ を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}$ で表し，点 $P,Q,R,S$ の座標を求める。そのうえで，$P,Q,S$ を通る平面の方程式に $R$ が乗る条件を調べる。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf a,\ \overrightarrow{OB}=\mathbf b,\ \overrightarrow{OD}=\mathbf d$ とおく。

四角錐であるから，$O$ は底面 $ABCD$ 上にない。また $A,B,D$ は同一直線上にないので，$\mathbf a,\mathbf b,\mathbf d$ は一次独立である。よって，これらを基底として座標を考えることができる。

与条件より

$$ \mathbf a+\overrightarrow{OC} = \mathbf b+\mathbf d

$$

であるから，

$$ \overrightarrow{OC} = -\mathbf a+\mathbf b+\mathbf d

$$

である。

したがって，$\mathbf a,\mathbf b,\mathbf d$ を基底とする座標で各点を表すと，

$$ P=(p,0,0),\quad Q=(0,q,0),\quad S=(0,0,s)

$$

であり，また

$$ R=r\overrightarrow{OC} = r(-\mathbf a+\mathbf b+\mathbf d)

$$

より

$$ R=(-r,r,r)

$$

である。

ここで $p,q,s$ はいずれも $0$ でないので，$P,Q,S$ を通る平面は座標 $(x,y,z)$ に対して

$$ \frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{s}=1

$$

と表される。実際，この平面は $P=(p,0,0)$，$Q=(0,q,0)$，$S=(0,0,s)$ をすべて通る。

仮定より $P,Q,R,S$ は同一平面上にあるので，点 $R=(-r,r,r)$ もこの平面上にある。したがって，

$$ \frac{-r}{p}+\frac{r}{q}+\frac{r}{s}=1

$$

が成り立つ。

$r\neq 0$ であるから両辺を $r$ で割ると，

$$ -\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{s}=\frac{1}{r}

$$

となる。これを整理して，

$$ \frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{1}{q}+\frac{1}{s}

$$

を得る。

解説

この問題の本質は，条件

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}

$$

を用いて，$\overrightarrow{OC}$ を他の3つのベクトルで表すことにある。この条件は，底面 $ABCD$ が平行四辺形型の関係をもつことを意味している。

その後は，$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}$ を座標軸として扱えばよい。点 $P,Q,S$ はそれぞれ座標軸上の点になるため，それらを通る平面の方程式が

$$ \frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{s}=1

$$

という切片形で簡潔に表せる。点 $R$ がこの平面上にある条件を代入するだけで，求める等式が出る。

答え

$P,Q,R,S$ が同一平面上にあるとき，

$$ \frac{1}{p}+\frac{1}{r} = \frac{1}{q}+\frac{1}{s}

$$

が成り立つ。