解説

方針・初手

正方形は平行四辺形であるから、対角線の中点が一致する。この事実を位置ベクトルで表すと、まず $\overrightarrow{OD}$ が求まる。

後半は、示すべきベクトルが平面 $\alpha$ 内の互いに平行でない2つのベクトルと垂直であることを示せばよい。

解法1

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}$ をそれぞれ

$$ \mathbf a,\mathbf b,\mathbf c,\mathbf d

$$

とおく。

正方形 $ABCD$ は平行四辺形であるから、対角線 $AC$ と $BD$ の中点は一致する。よって

$$ \frac{\mathbf a+\mathbf c}{2}=\frac{\mathbf b+\mathbf d}{2}

$$

である。したがって

$$ \mathbf d=\mathbf a-\mathbf b+\mathbf c

$$

となる。すなわち

$$ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}

$$

である。

次に、$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$ ではなく、問題文の条件は長さについて

$$ OA=OB=OC

$$

であることに注意する。これを

$$ |\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|

$$

と表す。

示すべきベクトルを

$$ \mathbf s=\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c+\mathbf d

$$

とおく。(1)より

$$ \begin{aligned} \mathbf s &=\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c+(\mathbf a-\mathbf b+\mathbf c)\\ &=2(\mathbf a+\mathbf c) \end{aligned}

$$

である。

平面 $\alpha$ 内の2つのベクトルとして、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を考える。これらは正方形の一辺と対角線の方向であり、互いに平行でないから、平面 $\alpha$ の方向を定める。

まず

$$ \overrightarrow{AC}=\mathbf c-\mathbf a

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \mathbf s\cdot \overrightarrow{AC} &=2(\mathbf a+\mathbf c)\cdot(\mathbf c-\mathbf a)\\ &=2(|\mathbf c|^2-|\mathbf a|^2)\\ &=0 \end{aligned}

$$

である。

次に

$$ \overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf a,\qquad \overrightarrow{BC}=\mathbf c-\mathbf b

$$

である。正方形より $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$ だから、

$$ (\mathbf b-\mathbf a)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0

$$

である。これを展開すると

$$ \mathbf b\cdot\mathbf c-|\mathbf b|^2-\mathbf a\cdot\mathbf c+\mathbf a\cdot\mathbf b=0

$$

となる。$|\mathbf a|=|\mathbf b|$ より、これは

$$ \mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf b\cdot\mathbf c-\mathbf a\cdot\mathbf c-|\mathbf a|^2=0

$$

と書ける。

一方、

$$ \begin{aligned} \mathbf s\cdot \overrightarrow{AB} &=2(\mathbf a+\mathbf c)\cdot(\mathbf b-\mathbf a)\\ &=2(\mathbf a\cdot\mathbf b-|\mathbf a|^2+\mathbf c\cdot\mathbf b-\mathbf c\cdot\mathbf a)\\ &=2(\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf b\cdot\mathbf c-\mathbf a\cdot\mathbf c-|\mathbf a|^2)\\ &=0 \end{aligned}

$$

である。

したがって、$\mathbf s$ は平面 $\alpha$ 内の互いに平行でない2つのベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直である。よって

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}

$$

は平面 $\alpha$ と垂直である。

解法2

(1)より

$$ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} &=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\\ &=2(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}) \end{aligned}

$$

である。

正方形 $ABCD$ の対角線 $AC$ の中点を $M$ とする。このとき

$$ \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}{2}

$$

であるから、

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OM}

$$

となる。

条件 $OA=OB=OC$ より、点 $O$ は $A,B,C$ から等距離にある。点 $A,B,C$ は平面 $\alpha$ 上の一直線上にない3点なので、$A,B,C$ から等距離にある点は、三角形 $ABC$ の外心を通り平面 $\alpha$ に垂直な直線上にある。

三角形 $ABC$ は、正方形の3頂点からなる直角三角形であり、外心は斜辺 $AC$ の中点 $M$ である。したがって

$$ OM\perp \alpha

$$

である。

よって、$\overrightarrow{OM}$ と同じ向きのベクトル

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OM}

$$

も平面 $\alpha$ と垂直である。

解説

(1)は、正方形を平行四辺形として見ることが核心である。対角線の中点一致を位置ベクトルで書けば、すぐに $\overrightarrow{OD}$ が表せる。

(2)は、平面に垂直であることを示すために、平面内の2つの独立な方向ベクトルとの内積が $0$ であることを確認すればよい。ここでは $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を使うと、条件 $OA=OB=OC$ と正方形の直交条件が自然に使える。

幾何的には、$OA=OB=OC$ から、$O$ が三角形 $ABC$ の外心を通る平面 $\alpha$ の垂線上にあることを見るのが本質である。正方形ではその外心が対角線の中点になるため、和のベクトルが正方形の中心方向を表すことと結びつく。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}

$$

**(2)**

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}

$$

は平面 $\alpha$ と垂直である。