基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題134 解説
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解説
方針・初手
点 $O,A,B,C$ は同一平面上にないので、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立である。したがって、各点の位置ベクトルをこの3つのベクトルの係数で表し、直線 $QR$ と直線 $PC$ が交わる条件を係数比較で求める。
解法1
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$ とおく。
点 $D$ は
$$ \overrightarrow{OD}=\mathbf{a}+2\mathbf{b}+3\mathbf{c}
$$
である。
点 $P$ は線分 $OA$ を $1:2$ に内分するので、
$$ \overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\mathbf{a}
$$
である。また、点 $Q$ は線分 $OB$ の中点だから、
$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}\mathbf{b}
$$
である。
点 $R$ は直線 $OD$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて
$$ \overrightarrow{OR} =t\overrightarrow{OD} =t\mathbf{a}+2t\mathbf{b}+3t\mathbf{c}
$$
と表せる。
直線 $PC$ 上の点を $X$ とすると、実数 $u$ を用いて
$$ \overrightarrow{OX} =(1-u)\overrightarrow{OP}+u\overrightarrow{OC} =\frac{1-u}{3}\mathbf{a}+u\mathbf{c}
$$
と表せる。
一方、直線 $QR$ 上の点を $X$ とすると、実数 $v$ を用いて
$$ \overrightarrow{OX} =(1-v)\overrightarrow{OQ}+v\overrightarrow{OR}
$$
である。よって
$$ \overrightarrow{OX} =vt\mathbf{a}+\left(\frac{1-v}{2}+2vt\right)\mathbf{b}+3vt\mathbf{c}
$$
となる。
直線 $QR$ と直線 $PC$ が交わるので、同じ点 $X$ について係数を比較できる。$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ は一次独立だから、
$$ \begin{cases} vt=\dfrac{1-u}{3} \\ \dfrac{1-v}{2}+2vt=0 \\ 3vt=u \end{cases}
$$
が成り立つ。
ここで $s=vt$ とおくと、第3式より
$$ u=3s
$$
である。これを第1式に代入すると、
$$ s=\frac{1-3s}{3}
$$
となる。したがって
$$ 3s=1-3s
$$
より、
$$ s=\frac{1}{6}
$$
である。
次に第2式に $vt=s=\dfrac{1}{6}$ を代入すると、
$$ \frac{1-v}{2}+2\cdot\frac{1}{6}=0
$$
より、
$$ \frac{1-v}{2}+\frac{1}{3}=0
$$
となる。両辺に $6$ をかけて、
$$ 3(1-v)+2=0
$$
だから、
$$ 5-3v=0
$$
すなわち
$$ v=\frac{5}{3}
$$
である。
したがって
$$ t=\frac{s}{v} =\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{3}} =\frac{1}{10}
$$
となる。
よって
$$ \overrightarrow{OR}=\frac{1}{10}\overrightarrow{OD}
$$
であるから、点 $R$ は線分 $OD$ を
$$ OR:RD=\frac{1}{10}:\frac{9}{10}=1:9
$$
に内分する。
解説
この問題では、$O,A,B,C$ が同一平面上にないことが重要である。この条件により、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を空間の基底のように扱うことができ、係数比較が正当化される。
直線 $PC$ 上の点には $\mathbf{b}$ 成分がない。一方、直線 $QR$ 上の点には一般に $\mathbf{b}$ 成分があるため、その係数が $0$ になる条件が交点を決める鍵になる。
また、$R$ を $\overrightarrow{OR}=t\overrightarrow{OD}$ と置けば、求める比は $t:(1-t)$ で直接求められる。今回は $t=\dfrac{1}{10}$ であるため、$R$ は線分 $OD$ 上にある。
答え
$$ OR:RD=1:9
$$