解説

方針・初手

点 $Q$ は $xy$ 平面上にあるので、$Q=(x,y,0)$ とおく。

直線 $OP$ 上の点であることから、$Q$ を $O$ と $P$ を用いてパラメータ表示し、$z$ 座標が $0$ になる条件を使う。その後、$\theta$ を消去して $x,y$ の関係式を求める。

解法1

点

$$ O\left(0,0,\frac{\sqrt{2}}{4}\right),\quad P\left(\cos\theta,\sin\theta,\frac{1}{2}\cos\theta\right)

$$

を通る直線上の点を

$$ O+t(P-O)

$$

と表す。

この点の $z$ 座標は

$$ \frac{\sqrt{2}}{4} +t\left(\frac{1}{2}\cos\theta-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)

$$

である。これが $0$ となるときが点 $Q$ であるから、

$$ \frac{\sqrt{2}}{4} +t\left(\frac{1}{2}\cos\theta-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=0

$$

より

$$ t=\frac{1}{1-\sqrt{2}\cos\theta}

$$

を得る。

したがって、点 $Q=(x,y,0)$ の $x,y$ 座標は

$$ x=\frac{\cos\theta}{1-\sqrt{2}\cos\theta},\quad y=\frac{\sin\theta}{1-\sqrt{2}\cos\theta}

$$

である。

ここで

$$ x=\frac{\cos\theta}{1-\sqrt{2}\cos\theta}

$$

より

$$ x(1-\sqrt{2}\cos\theta)=\cos\theta

$$

だから、

$$ x=\cos\theta(1+\sqrt{2}x)

$$

すなわち

$$ \cos\theta=\frac{x}{1+\sqrt{2}x}

$$

である。同様に、

$$ \sin\theta=\frac{y}{1+\sqrt{2}x}

$$

である。

よって、$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ を用いると、

$$ \left(\frac{x}{1+\sqrt{2}x}\right)^2 + \left(\frac{y}{1+\sqrt{2}x}\right)^2 =1

$$

となる。したがって、

$$ x^2+y^2=(1+\sqrt{2}x)^2

$$

である。これを整理すると、

$$ x^2+y^2=1+2\sqrt{2}x+2x^2

$$

より

$$ y^2=x^2+2\sqrt{2}x+1

$$

すなわち

$$ (x+\sqrt{2})^2-y^2=1

$$

を得る。

次に、どの部分を動くかを調べる。

条件

$$ -\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{4}

$$

より

$$ \cos\theta>\frac{\sqrt{2}}{2}

$$

である。したがって

$$ 1-\sqrt{2}\cos\theta<0

$$

であるから、

$$ x=\frac{\cos\theta}{1-\sqrt{2}\cos\theta}<0

$$

である。

また、

$$ (x+\sqrt{2})^2-y^2=1

$$

の左側の枝は

$$ x+\sqrt{2}\leq -1

$$

すなわち

$$ x\leq -1-\sqrt{2}

$$

である。実際、$\theta=0$ のとき

$$ Q=\left(\frac{1}{1-\sqrt{2}},0,0\right) = (-1-\sqrt{2},0,0)

$$

となり、これは左側の頂点である。

$\theta\to \frac{\pi}{4}-0$ のときは $x\to -\infty,\ y\to -\infty$ となり、$\theta\to -\frac{\pi}{4}+0$ のときは $x\to -\infty,\ y\to \infty$ となる。

したがって、点 $Q$ の軌跡は双曲線

$$ (x+\sqrt{2})^2-y^2=1

$$

の左側の枝

$$ x\leq -1-\sqrt{2}

$$

である。

図示すると、中心は $(-\sqrt{2},0)$、頂点は $(-1-\sqrt{2},0)$、漸近線は

$$ y=\pm(x+\sqrt{2})

$$

である。求める軌跡は、そのうち左側の枝全体である。

解説

この問題では、空間内の直線と $xy$ 平面の交点を求めるため、まず直線をパラメータ表示するのが自然である。

注意すべき点は、単に方程式

$$ (x+\sqrt{2})^2-y^2=1

$$

を得るだけでは不十分で、$\theta$ の範囲によって双曲線のどの部分を動くかを確認する必要がある点である。

$\theta$ の範囲から $\cos\theta>\frac{\sqrt{2}}{2}$ となり、分母 $1-\sqrt{2}\cos\theta$ は常に負である。そのため、点 $Q$ は右側の枝ではなく、左側の枝に現れる。

答え

点 $Q$ の軌跡は

$$ (x+\sqrt{2})^2-y^2=1

$$

のうち

$$ x\leq -1-\sqrt{2}

$$

を満たす部分である。

すなわち、中心 $(-\sqrt{2},0)$、頂点 $(-1-\sqrt{2},0)$、漸近線

$$ y=\pm(x+\sqrt{2})

$$

をもつ双曲線の左側の枝である。