解説

方針・初手

点 $A,B$ は $xy$ 平面上で $x$ 軸に関して対称である。したがって、点 $C$ が $A,B$ となす角を等しくする条件は、内積を用いて処理するのが自然である。

点 $C=(x,y,z)$ とおき、$|\overrightarrow{OC}|=1$ および

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA} &= \overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OB}\\ &= \cos\theta \end{aligned} $$

を用いる。

解法1

$A,B$ の座標は

$$ A\left(\cos\frac{\alpha}{2},\sin\frac{\alpha}{2},0\right), \quad B\left(\cos\frac{\alpha}{2},-\sin\frac{\alpha}{2},0\right)

$$

である。点 $C=(x,y,z)$ とおく。

条件 $\angle COA=\theta$ より

$$ x\cos\frac{\alpha}{2}+y\sin\frac{\alpha}{2}=\cos\theta

$$

である。また、条件 $\angle COB=\theta$ より

$$ x\cos\frac{\alpha}{2}-y\sin\frac{\alpha}{2}=\cos\theta

$$

である。

この2式を引くと

$$ 2y\sin\frac{\alpha}{2}=0

$$

となる。$0<\alpha<\pi$ より $\sin\frac{\alpha}{2}\neq 0$ であるから、

$$ y=0

$$

である。

よって

$$ x\cos\frac{\alpha}{2}=\cos\theta

$$

となるので、

$$ x=\frac{\cos\theta}{\cos\frac{\alpha}{2}}

$$

である。

また、点 $C$ は半径 $1$ の球面上にあるから

$$ x^2+y^2+z^2=1

$$

である。$y=0$ を代入して

$$ z^2=1-\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\cos^2\theta}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}

$$

である。

点 $C$ の $z$ 座標は正であり、$0<\alpha<\pi$ より $\cos\frac{\alpha}{2}>0$ だから、

$$ z= \frac{\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\cos^2\theta}}{\cos\frac{\alpha}{2}}

$$

である。

したがって、

$$ C\left( \frac{\cos\theta}{\cos\frac{\alpha}{2}}, 0, \frac{\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\cos^2\theta}}{\cos\frac{\alpha}{2}} \right)

$$

である。

なお、点 $C$ が実際に球面上に存在し、かつ $z>0$ となるためには

$$ \cos^2\frac{\alpha}{2}-\cos^2\theta>0

$$

が必要である。すなわち

$$ \left|\cos\theta\right|<\cos\frac{\alpha}{2}

$$

である。

次に、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}$ の相異なる2つのベクトルのなす角がすべて等しい場合を考える。

すでに

$$ \angle AOB=\alpha

$$

であり、条件から

$$ \angle COA=\angle COB=\angle DOA=\angle DOB

$$

である。したがって、すべての角が等しいならば

$$ \theta=\alpha

$$

でなければならない。

このとき、(1) の結果より

$$ C\left( \frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}}, 0, \frac{\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\cos^2\alpha}}{\cos\frac{\alpha}{2}} \right)

$$

である。

また、点 $D$ は $C$ と同じ条件を満たし、$z$ 座標が負であるから

$$ D\left( \frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}}, 0, -\frac{\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\cos^2\alpha}}{\cos\frac{\alpha}{2}} \right)

$$

である。

ここで、すべてのなす角が $\alpha$ に等しいためには

$$ \angle COD=\alpha

$$

も必要である。よって

$$ \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}=\cos\alpha

$$

が成り立つ。

$C=(x,0,z)$、$D=(x,0,-z)$ とおくと、$x^2+z^2=1$ であるから

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD} &= x^2-z^2\\ &= 2x^2-1 \end{aligned} $$

である。また

$$ x=\frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}}

$$

なので、

$$ 2\left(\frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}}\right)^2-1=\cos\alpha

$$

を得る。

$t=\cos\alpha$ とおく。半角の公式より

$$ \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{1+t}{2}

$$

であるから、

$$ 2\cdot \frac{t^2}{\frac{1+t}{2}}-1=t

$$

となる。これを整理すると

$$ \frac{4t^2}{1+t}-1=t

$$

である。両辺に $1+t$ をかけると、

$$ 4t^2-(1+t)=t(1+t)

$$

であり、

$$ 4t^2-1-t=t+t^2

$$

となる。したがって

$$ 3t^2-2t-1=0

$$

である。

これを解くと

$$ (3t+1)(t-1)=0

$$

より

$$ t=1,\quad -\frac{1}{3}

$$

である。

ただし、$0<\alpha<\pi$ であり、さらに $A,B,C,D$ は相異なる点である。$t=1$ は $\cos\alpha=1$、すなわち $\alpha=0$ に対応するため不適である。

よって

$$ \cos\alpha=-\frac{1}{3}

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \cos^2\frac{\alpha}{2} &= \frac{1+\cos\alpha}{2}\\ &= \frac{1-\frac13}{2}\\ &= \frac13 \end{aligned} $$

である。$0<\alpha<\pi$ より $\cos\frac{\alpha}{2}>0$ だから、

$$ \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\sqrt3}

$$

である。

よって点 $C$ の $x$ 座標は

$$ x= \frac{\cos\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{-\frac13}{\frac1{\sqrt3}}

-\frac{1}{\sqrt3}

$$

である。また

$$ \begin{aligned} z=\sqrt{1-x^2} &= \sqrt{1-\frac13}\\ &= \sqrt{\frac23}\\ &= \frac{\sqrt6}{3} \end{aligned} $$

である。

点 $C$ の $z$ 座標は正であるから、

$$ C\left(-\frac{1}{\sqrt3},0,\sqrt{\frac23}\right)

$$

である。

解説

この問題の中心は、球面上の点をベクトルとして見て、角の条件を内積で表すことである。

点 $A,B$ が $x$ 軸に関して対称に置かれているため、$C$ が $A,B$ と等しい角をなす条件から $y=0$ が従う。したがって、点 $C,D$ は $xz$ 平面上にあり、さらに $C,D$ は $xy$ 平面に関して対称になる。

(2) では、4本の単位ベクトルの任意の2本のなす角が等しいので、正四面体の頂点方向に対応する配置になっている。計算上は、まず共通角を $\alpha$ とし、最後に $\angle COD=\alpha$ を課すことで $\cos\alpha=-\frac13$ が出る。この値が正四面体の中心から各頂点へ向かうベクトルどうしの内積である。

答え

**(1)**

$$ C\left( \frac{\cos\theta}{\cos\frac{\alpha}{2}}, 0, \frac{\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\cos^2\theta}}{\cos\frac{\alpha}{2}} \right)

$$

ただし、$z>0$ であるためには

$$ \left|\cos\theta\right|<\cos\frac{\alpha}{2}

$$

が必要である。

**(2)**

$$ C\left(-\frac{1}{\sqrt3},0,\sqrt{\frac23}\right)

$$

すなわち

$$ C\left(-\frac{\sqrt3}{3},0,\frac{\sqrt6}{3}\right)

$$

である。