解説

方針・初手

四面体 $OABC$ のうち，$OAB, OBC, OCA$ はそれぞれ座標平面上にある。内接球の中心はこれら3つの面から等距離にあるので，中心 $P$ は

$$ P=(r,r,r)

$$

とおける。ここで $r$ は内接球の半径である。あとは，$P$ から平面 $ABC$ までの距離も $r$ であることを用いる。

解法1

まず

$$ A(\sqrt{3}-1,0,0),\quad B(0,2,0),\quad C(0,0,\sqrt{3}+1)

$$

であるから，平面 $ABC$ は切片形で

$$ \frac{x}{\sqrt{3}-1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{\sqrt{3}+1}=1

$$

と表される。

両辺に $2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)$ をかける。ここで

$$ (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=2

$$

より，平面 $ABC$ の方程式は

$$ 2(\sqrt{3}+1)x+2y+2(\sqrt{3}-1)z=4

$$

である。

内接球の中心を $P=(r,r,r)$ とおく。これは，$P$ が座標平面 $x=0,y=0,z=0$ からすべて距離 $r$ にあるためである。

$P$ から平面 $ABC$ までの距離が $r$ であるから，

$$ \frac{4-{2(\sqrt{3}+1)r+2r+2(\sqrt{3}-1)r}}{\sqrt{{2(\sqrt{3}+1)}^2+2^2+{2(\sqrt{3}-1)}^2}}=r

$$

となる。

分母を計算すると，

$$ \begin{aligned} &\sqrt{{2(\sqrt{3}+1)}^2+2^2+{2(\sqrt{3}-1)}^2} \\ &=\sqrt{4(\sqrt{3}+1)^2+4+4(\sqrt{3}-1)^2} \\ &=\sqrt{4(4+2\sqrt{3})+4+4(4-2\sqrt{3})} \\ &=\sqrt{36} \\ &=6 \end{aligned}

$$

である。また，分子の中の係数和は

$$ 2(\sqrt{3}+1)+2+2(\sqrt{3}-1)=4\sqrt{3}+2

$$

である。したがって，

$$ \frac{4-(4\sqrt{3}+2)r}{6}=r

$$

となる。

これを解くと，

$$ 4-(4\sqrt{3}+2)r=6r

$$

より，

$$ 4=(4\sqrt{3}+8)r

$$

であるから，

$$ r=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}

$$

を得る。

したがって，

$$ P=(2-\sqrt{3},2-\sqrt{3},2-\sqrt{3})

$$

である。

次に，$S$ と三角形 $ABC$ が接する点 $Q$ を求める。これは，点 $P$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足である。

平面 $ABC$ の法線ベクトルとして

$$ \vec{n}=\left(2(\sqrt{3}+1),2,2(\sqrt{3}-1)\right)

$$

をとる。平面は

$$ \vec{n}\cdot (x,y,z)=4

$$

である。

点 $P=(r,r,r)$ に対して，

$$ \vec{n}\cdot P=(4\sqrt{3}+2)r

$$

である。ここで $r=2-\sqrt{3}$ より，

$$ \begin{aligned} 4-\vec{n}\cdot P &=4-(4\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3}) \\ &=4-(6\sqrt{3}-8) \\ &=12-6\sqrt{3} \\ &=6(2-\sqrt{3}) \\ &=6r \end{aligned}

$$

である。また，

$$ |\vec{n}|^2=36

$$

であるから，垂線の足 $Q$ は

$$ Q=P+\frac{4-\vec{n}\cdot P}{|\vec{n}|^2}\vec{n}

$$

より，

$$ Q=P+\frac{r}{6}\vec{n}

$$

である。

したがって，

$$ \begin{aligned} Q &=(r,r,r)+\frac{r}{6}\left(2(\sqrt{3}+1),2,2(\sqrt{3}-1)\right) \\ &=r\left(1+\frac{\sqrt{3}+1}{3},1+\frac{1}{3},1+\frac{\sqrt{3}-1}{3}\right) \\ &=r\left(\frac{\sqrt{3}+4}{3},\frac{4}{3},\frac{\sqrt{3}+2}{3}\right) \end{aligned}

$$

となる。

$r=2-\sqrt{3}$ を代入して整理すると，

$$ \begin{aligned} x_Q&=\frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+4)}{3} =\frac{5-2\sqrt{3}}{3},\\ y_Q&=\frac{4(2-\sqrt{3})}{3} =\frac{8-4\sqrt{3}}{3},\\ z_Q&=\frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+2)}{3} =\frac{1}{3} \end{aligned}

$$

である。

よって，

$$ Q=\left(\frac{5-2\sqrt{3}}{3},\frac{8-4\sqrt{3}}{3},\frac{1}{3}\right)

$$

である。

解説

この問題の要点は，四面体の3つの面が座標平面になっていることを利用する点である。内接球の中心はすべての面から等距離にあるので，座標平面からの距離が等しいことから，すぐに $P=(r,r,r)$ とおける。

また，接点 $Q$ は球の中心から接平面に下ろした垂線の足である。したがって，平面 $ABC$ の法線ベクトルを用いて垂線の足を求めればよい。接点を三角形上の点として直接求めようとすると計算が複雑になりやすいので，平面への正射影として処理するのが自然である。

答え

**(1)**

$$ P=(2-\sqrt{3},2-\sqrt{3},2-\sqrt{3})

$$

**(2)**

$$ Q=\left(\frac{5-2\sqrt{3}}{3},\frac{8-4\sqrt{3}}{3},\frac{1}{3}\right)

$$