解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $P=(a,b)$ とおく。放物線 $y=x^2$ 上の点 $(t,t^2)$ における接線を用いて、点 $P$ から引ける2本の接線の接点をパラメータで表す。

そのうえで、2本の接線のなす角が $45^\circ$ である条件を式に直す。ただし、直線どうしの鋭角が $45^\circ$ でも、実際の $\angle QPR$ が $135^\circ$ になる場合があるので、内積の符号も確認する。

解法1

放物線 $y=x^2$ 上の点 $(t,t^2)$ における接線は

$$ y=2tx-t^2

$$

である。この接線が点 $P=(a,b)$ を通る条件は

$$ b=2ta-t^2

$$

すなわち

$$ t^2-2at+b=0

$$

である。

相異なる2本の接線が引けるので、この2次方程式は相異なる2つの実数解をもつ。その解を $u,v$ とすると、接点は

$$ Q=(u,u^2),\qquad R=(v,v^2)

$$

であり、解と係数の関係から

$$ u+v=2a,\qquad uv=b

$$

である。

点 $Q$ における接線の傾きは $2u$、点 $R$ における接線の傾きは $2v$ である。したがって、2本の接線のなす角について

$$ \left|\frac{2u-2v}{1+4uv}\right|=1

$$

が成り立つ。ただし、これは直線どうしの角が $45^\circ$ または $135^\circ$ であることを表すので、後で $\angle QPR=45^\circ$ になる条件を確認する。

まず式を整理する。

$$ 4(u-v)^2=(1+4uv)^2

$$

ここで

$$ (u-v)^2=(u+v)^2-4uv

$$

より、

$$ (u-v)^2=(2a)^2-4b=4(a^2-b)

$$

である。また $uv=b$ だから、

$$ 4\cdot 4(a^2-b)=(1+4b)^2

$$

すなわち

$$ 16(a^2-b)=(1+4b)^2

$$

を得る。これを整理すると

$$ 16a^2-16b=1+8b+16b^2

$$

より

$$ 16b^2+24b+1-16a^2=0

$$

である。平方完成すると

$$ b^2+\frac{3}{2}b+\frac{1}{16}-a^2=0

$$

なので、

$$ \left(b+\frac{3}{4}\right)^2-a^2=\frac{1}{2}

$$

となる。

次に、実際に $\angle QPR=45^\circ$ となる枝を判定する。

ベクトルを計算すると、

$$ \overrightarrow{PQ} = (u-a,u^2-b)

\left(u-\frac{u+v}{2},u^2-uv\right)

(u-v)\left(\frac{1}{2},u\right)

$$

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PR} &= (v-a,v^2-b)\\ &= (v-u)\left(\frac{1}{2},v\right) \end{aligned} $$

である。したがって内積は

$$ \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR} = -(u-v)^2\left(\frac{1}{4}+uv\right)

-\frac{(u-v)^2}{4}(1+4b)

$$

となる。

$\angle QPR=45^\circ$ であるためには、内積が正でなければならない。よって

$$ 1+4b<0

$$

すなわち

$$ b<-\frac{1}{4}

$$

である。

したがって、点 $P=(x,y)$ の軌跡は

$$ \left(y+\frac{3}{4}\right)^2-x^2=\frac{1}{2}

$$

のうち、

$$ y<-\frac{1}{4}

$$

を満たす部分である。

この双曲線は

$$ y=-\frac{3}{4}\pm\sqrt{x^2+\frac{1}{2}}

$$

と表せる。条件 $y<-\frac{1}{4}$ を満たすのは下側の枝

$$ y=-\frac{3}{4}-\sqrt{x^2+\frac{1}{2}}

$$

のみである。

よって、図示すべき軌跡は、中心が $\left(0,-\frac{3}{4}\right)$、漸近線が

$$ y=-\frac{3}{4}\pm x

$$

である双曲線

$$ \left(y+\frac{3}{4}\right)^2-x^2=\frac{1}{2}

$$

の下側の枝である。頂点は

$$ \left(0,-\frac{3}{4}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

$$

である。

解説

この問題では、接点を直接座標で置くのが自然である。放物線 $y=x^2$ の接線は、接点の $x$ 座標を $t$ とすれば

$$ y=2tx-t^2

$$

と簡単に表せるため、点 $P=(a,b)$ を通る条件から接点のパラメータ $u,v$ を2次方程式の解として扱える。

注意すべき点は、傾きの公式から得られる条件だけでは、直線どうしの角が $45^\circ$ か $135^\circ$ かを区別できないことである。実際、双曲線の上側の枝では $\angle QPR=135^\circ$ になり、問題の条件を満たさない。したがって内積の符号により、下側の枝だけを選ぶ必要がある。

答え

点 $P$ の軌跡は

$$ \left(y+\frac{3}{4}\right)^2-x^2=\frac{1}{2}

$$

の下側の枝、すなわち

$$ y=-\frac{3}{4}-\sqrt{x^2+\frac{1}{2}}

$$

である。

この双曲線の中心は $\left(0,-\frac{3}{4}\right)$、漸近線は

$$ y=-\frac{3}{4}\pm x

$$

であり、頂点は

$$ \left(0,-\frac{3}{4}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

$$

である。