解説

方針・初手

点 $Q$ は、直線 $AP$ と、原点 $O$ を通り直線 $AP$ に垂直な平面との交点である。したがって $Q$ は、直線 $AP$ 上で $OQ \perp AP$ を満たす点であり、原点 $O$ から直線 $AP$ に下ろした垂線の足である。

この性質を使うと、(1) は射影の関係として示せる。(2) は $|OQ|$ を $x,y$ で表し、$|OQ|=1$ を方程式に直せばよい。

解法1

まず、直線 $AP$ の方向ベクトルを

$$ \overrightarrow{AP}=(x-a,\ y,\ -b)

$$

とする。また、

$$ \overrightarrow{AO}=(-a,\ 0,\ -b)

$$

である。

平面 $\alpha$ は点 $O$ を通り、直線 $AP$ と垂直であるから、$\alpha$ は $\overrightarrow{AP}$ を法線ベクトルにもつ平面である。したがって、直線 $AP$ と $\alpha$ の交点 $Q$ について、

$$ OQ \perp AP

$$

が成り立つ。

また $Q$ は直線 $AP$ 上にあるので、$\overrightarrow{AQ}$ は $\overrightarrow{AP}$ と平行である。

ここで

$$ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QO}

$$

であり、$\overrightarrow{QO}$ は $\overrightarrow{AP}$ と垂直である。よって

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AO} &=\overrightarrow{AP}\cdot(\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QO})\\ &=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ} \end{aligned}

$$

となる。

さらに $\overrightarrow{AQ}$ と $\overrightarrow{AP}$ は平行であるから、

$$ \left(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}\right)^2 =|\overrightarrow{AP}|^2|\overrightarrow{AQ}|^2

$$

である。したがって

$$ \left(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AO}\right)^2 =|\overrightarrow{AP}|^2|\overrightarrow{AQ}|^2

$$

が成り立つ。

次に、$|OQ|=1$ となる条件を求める。

三角形 $AOQ$ において、$OQ\perp AQ$ であるから、

$$ |AO|^2=|AQ|^2+|OQ|^2

$$

である。したがって $|OQ|=1$ の条件は

$$ |AO|^2-|AQ|^2=1

$$

である。

(1) より、

$$ |AQ|^2=\frac{(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AO})^2}{|\overrightarrow{AP}|^2}

$$

であるから、

$$ |AO|^2-\frac{(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AO})^2}{|\overrightarrow{AP}|^2}=1

$$

を満たせばよい。

ここで

$$ |AO|^2=a^2+b^2

$$

であり、

$$ |\overrightarrow{AP}|^2=(x-a)^2+y^2+b^2

$$

である。また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AO} &=(x-a)(-a)+y\cdot 0+(-b)(-b)\\ &=-ax+a^2+b^2 \end{aligned}

$$

である。

よって、$|OQ|=1$ の条件は

$$ a^2+b^2-\frac{(-ax+a^2+b^2)^2}{(x-a)^2+y^2+b^2}=1

$$

である。

両辺を整理する。$c=a^2+b^2$ とおくと、

$$ c-\frac{(c-ax)^2}{(x-a)^2+y^2+b^2}=1

$$

であるから、

$$ (c-1){(x-a)^2+y^2+b^2}=(c-ax)^2

$$

となる。

これを展開して整理すると、

$$ (b^2-1)x^2+2ax+(a^2+b^2-1)y^2-(a^2+b^2)=0

$$

となる。

したがって、求める点 $P(x,y,0)$ の軌跡は、$xy$ 平面上の曲線

$$ (b^2-1)x^2+2ax+(a^2+b^2-1)y^2=a^2+b^2

$$

である。

なお、形を分類すると次のようになる。

**(i)**

$b^2>1$ のとき、楕円である。平方完成すると、

$$ (b^2-1)\left(x+\frac{a}{b^2-1}\right)^2+(a^2+b^2-1)y^2 =a^2+b^2+\frac{a^2}{b^2-1}

$$

である。

**(ii)**

$b^2=1$ のとき、$a\neq 0$ であり、

$$ a^2y^2+2ax-(a^2+1)=0

$$

すなわち

$$ x=\frac{a^2+1-a^2y^2}{2a}

$$

となる。これは放物線である。

**(iii)**

$0<b^2<1$ のとき、双曲線である。この場合、$a^2+b^2>1$ より $a\neq 0$ である。

解説

この問題の中心は、点 $Q$ を「原点 $O$ から直線 $AP$ に下ろした垂線の足」と見抜くことである。

(1) は、$\overrightarrow{AO}$ を直線 $AP$ 方向の成分と、それに垂直な成分に分解しているだけである。つまり、$\overrightarrow{AQ}$ は $\overrightarrow{AO}$ の直線 $AP$ 方向への射影に対応している。

(2) では、$|OQ|$ を直接求めるよりも、直角三角形 $AOQ$ に対して

$$ |OQ|^2=|AO|^2-|AQ|^2

$$

を用いると計算が整理される。最後は $x,y$ の二次方程式として軌跡を得る。

答え

**(1)**

$$ \left(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AO}\right)^2 =|\overrightarrow{AP}|^2|\overrightarrow{AQ}|^2

$$

が成り立つ。

**(2)**

求める軌跡は、$xy$ 平面上の曲線

$$ (b^2-1)x^2+2ax+(a^2+b^2-1)y^2=a^2+b^2

$$

である。

ただし、$b^2>1$ のとき楕円、$b^2=1$ のとき放物線、$0<b^2<1$ のとき双曲線である。