解説

方針・初手

楕円の式を立て、直線 $AP$ を媒介変数で表す。点 $Q$ は直線 $AP$ と楕円の交点なので、媒介変数を求めれば $AQ$ の長さが計算できる。

横軸を時間 $t$、縦軸を $AQ$ として、得られた関数の増減を調べればよい。

解法1

楕円は、図より中心が $(0,\frac12)$、長半径が $\frac a2$、短半径が $\frac12$ である。したがって楕円の方程式は

$$ \frac{x^2}{(a/2)^2}+\frac{(y-1/2)^2}{(1/2)^2}=1

$$

すなわち

$$ \frac{4x^2}{a^2}+(2y-1)^2=1

$$

である。

時刻 $t$ における点 $P$ の座標を

$$ P=(vt,0)

$$

とする。ただし $t\geqq 0$ である。

直線 $AP$ 上の点を、$A=(0,1)$ から $P=(vt,0)$ へ向かう媒介変数 $\lambda$ を用いて

$$ (x,y)=(\lambda vt,1-\lambda)

$$

と表す。ここで $\lambda=0$ が点 $A$、$\lambda=1$ が点 $P$ を表す。

これを楕円の方程式に代入すると

$$ \frac{4\lambda^2 v^2t^2}{a^2}+{2(1-\lambda)-1}^2=1

$$

である。整理すると

$$ \frac{4\lambda^2 v^2t^2}{a^2}+(1-2\lambda)^2=1

$$

より

$$ 4\lambda\left\{\lambda\left(1+\frac{v^2t^2}{a^2}\right)-1\right\}=0

$$

を得る。

$\lambda=0$ は点 $A$ に対応するので、もう一つの交点 $Q$ に対応する値は

$$ \lambda=\frac{1}{1+\frac{v^2t^2}{a^2}} =\frac{a^2}{a^2+v^2t^2}

$$

である。

また、

$$ AP=\sqrt{(vt)^2+1}

$$

だから、

$$ AQ=\lambda AP =\frac{a^2\sqrt{1+v^2t^2}}{a^2+v^2t^2}

$$

となる。

ここで

$$ L(t)=AQ=\frac{a^2\sqrt{1+v^2t^2}}{a^2+v^2t^2}

$$

とおく。増減を調べるために対数微分する。

$$ \log L(t)=\log a^2+\frac12\log(1+v^2t^2)-\log(a^2+v^2t^2)

$$

より

$$ \begin{aligned} \frac{L'(t)}{L(t)} = \frac{v^2t}{1+v^2t^2} - \frac{2v^2t}{a^2+v^2t^2} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \frac{L'(t)}{L(t)} = \frac{v^2t(a^2-2-v^2t^2)}{(1+v^2t^2)(a^2+v^2t^2)}

$$

となる。

$L(t)>0$ であり、分母も正であるから、$L'(t)$ の符号は

$$ t(a^2-2-v^2t^2)

$$

の符号で決まる。

**(i)**

$1<a\leqq \sqrt2$ のとき

このとき $a^2-2\leqq 0$ であるから、$t>0$ において

$$ a^2-2-v^2t^2<0

$$

である。よって $L(t)$ は $t=0$ から単調に減少する。

また、

$$ L(0)=1

$$

であり、

$$ \lim_{t\to\infty}L(t)=0

$$

である。

したがって、グラフは $t=0$ で $1$ から始まり、単調に減少して $0$ に近づく曲線である。

**(ii)**

$a>\sqrt2$ のとき

このとき $a^2-2>0$ であるから、

$$ a^2-2-v^2t^2=0

$$

となる時刻は

$$ t=\frac{\sqrt{a^2-2}}{v}

$$

である。

したがって $L(t)$ は

$$ 0<t<\frac{\sqrt{a^2-2}}{v}

$$

で増加し、

$$ t>\frac{\sqrt{a^2-2}}{v}

$$

で減少する。

最大値は、$v^2t^2=a^2-2$ を代入して

$$ L_{\max} = \frac{a^2\sqrt{1+a^2-2}}{a^2+a^2-2} = \frac{a^2\sqrt{a^2-1}}{2(a^2-1)} = \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-1}}

$$

である。

また、

$$ L(0)=1,\qquad \lim_{t\to\infty}L(t)=0

$$

である。

したがって、グラフは $t=0$ で $1$ から始まり、いったん増加して

$$ t=\frac{\sqrt{a^2-2}}{v}

$$

で最大値

$$ \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-1}}

$$

をとり、その後単調に減少して $0$ に近づく曲線である。

解説

この問題では、楕円上の点 $Q$ を直接座標で求めようとすると計算が重くなる。点 $Q$ が直線 $AP$ 上にあることを利用し、$A$ から $P$ へ向かう媒介変数 $\lambda$ で表すのが自然である。

特に、$AQ$ は $AP$ の $\lambda$ 倍であるから、交点の座標を完全に求めなくても長さが出せる。あとは

$$ AQ=\frac{a^2\sqrt{1+v^2t^2}}{a^2+v^2t^2}

$$

の増減を調べれば、グラフの形が決まる。

変化の仕方は $a=\sqrt2$ を境に変わる。これは、$AQ$ の増減を決める因子が

$$ a^2-2-v^2t^2

$$

になるためである。

答え

時刻 $t$ における線分 $AQ$ の長さは

$$ AQ=\frac{a^2\sqrt{1+v^2t^2}}{a^2+v^2t^2}

$$

である。

**(i)**

$1<a\leqq\sqrt2$ のとき

$AQ$ は

$$ AQ(0)=1

$$

から単調に減少し、

$$ \lim_{t\to\infty}AQ=0

$$

となる。したがって、グラフは $1$ から始まり、単調減少して $0$ に漸近する。

**(ii)**

$a>\sqrt2$ のとき

$AQ$ は

$$ t=\frac{\sqrt{a^2-2}}{v}

$$

で最大値

$$ \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-1}}

$$

をとる。

したがって、グラフは $t=0$ で $1$ から始まり、上の時刻まで増加し、その後単調に減少して $0$ に漸近する。