解説

方針・初手

点 $P$ の座標を直接置くと、楕円の接線公式から $x$ 軸、$y$ 軸との交点を表せる。したがって、まず $P=(a,b)$ とおき、接線の切片から $QR$ の長さを $a,b$ で表す。

その後、楕円上の条件を用いて $QR^2$ を $1$ 変数にして最小化する。

解法1

点 $P$ の座標を

$$ P=(a,b)

$$

とおく。ただし $a>0,\ b>0$ であり、

$$ \frac{a^2}{4}+b^2=1

$$

を満たす。

楕円

$$ \frac{x^2}{4}+y^2=1

$$

上の点 $(a,b)$ における接線は

$$ \frac{ax}{4}+by=1

$$

である。

この接線と $x$ 軸との交点を $Q$ とする。$y=0$ を代入すると、

$$ \frac{ax}{4}=1

$$

より、

$$ x=\frac{4}{a}

$$

である。したがって、

$$ Q=\left(\frac{4}{a},0\right)

$$

である。

また、接線と $y$ 軸との交点を $R$ とする。$x=0$ を代入すると、

$$ by=1

$$

より、

$$ y=\frac{1}{b}

$$

である。したがって、

$$ R=\left(0,\frac{1}{b}\right)

$$

である。

よって、

$$ QR^2=\left(\frac{4}{a}\right)^2+\left(\frac{1}{b}\right)^2 =\frac{16}{a^2}+\frac{1}{b^2}

$$

である。

ここで、楕円上の条件から

$$ \frac{a^2}{4}+b^2=1

$$

なので、

$$ u=\frac{a^2}{4}

$$

とおくと、$0<u<1$ であり、

$$ b^2=1-u,\qquad a^2=4u

$$

となる。

したがって、

$$ QR^2 =\frac{16}{4u}+\frac{1}{1-u} =\frac{4}{u}+\frac{1}{1-u}

$$

である。

これを

$$ f(u)=\frac{4}{u}+\frac{1}{1-u}\qquad (0<u<1)

$$

とおいて最小化する。

微分すると、

$$ f'(u)=-\frac{4}{u^2}+\frac{1}{(1-u)^2}

$$

である。$f'(u)=0$ とすると、

$$ \frac{1}{(1-u)^2}=\frac{4}{u^2}

$$

となる。$0<u<1$ より両辺の正の平方根をとって、

$$ \frac{1}{1-u}=\frac{2}{u}

$$

である。よって、

$$ u=2(1-u)

$$

より、

$$ 3u=2

$$

したがって、

$$ u=\frac{2}{3}

$$

である。

また、

$$ f'(u)<0\quad \left(0<u<\frac{2}{3}\right),\qquad f'(u)>0\quad \left(\frac{2}{3}<u<1\right)

$$

となるため、$u=\frac{2}{3}$ で最小値をとる。

このとき、

$$ QR^2 =\frac{4}{2/3}+\frac{1}{1/3} =6+3 =9

$$

であるから、

$$ QR=3

$$

である。

また、

$$ \frac{a^2}{4}=u=\frac{2}{3}

$$

より、

$$ a^2=\frac{8}{3}

$$

である。$a>0$ だから、

$$ a=\frac{2\sqrt{6}}{3}

$$

である。

さらに、

$$ b^2=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}

$$

であり、$b>0$ だから、

$$ b=\frac{\sqrt{3}}{3}

$$

である。

したがって、求める点 $P$ は

$$ P=\left(\frac{2\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)

$$

である。

解法2

点 $P$ を媒介変数で

$$ P=(2\cos\theta,\sin\theta)\qquad \left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)

$$

とおく。

この点における接線は

$$ \frac{x\cos\theta}{2}+y\sin\theta=1

$$

である。

$x$ 軸との交点 $Q$ は $y=0$ として、

$$ \frac{x\cos\theta}{2}=1

$$

より、

$$ Q=\left(\frac{2}{\cos\theta},0\right)

$$

である。

$y$ 軸との交点 $R$ は $x=0$ として、

$$ y\sin\theta=1

$$

より、

$$ R=\left(0,\frac{1}{\sin\theta}\right)

$$

である。

したがって、

$$ QR^2 =\left(\frac{2}{\cos\theta}\right)^2+\left(\frac{1}{\sin\theta}\right)^2 =4\sec^2\theta+\csc^2\theta

$$

である。

ここで、

$$ t=\cos^2\theta

$$

とおくと、$0<t<1$ であり、

$$ \sin^2\theta=1-t

$$

だから、

$$ QR^2=\frac{4}{t}+\frac{1}{1-t}

$$

となる。

解法1と同様に、この式の最小値は $t=\frac{2}{3}$ のときであり、

$$ QR^2=9

$$

となる。よって、

$$ QR=3

$$

である。

このとき、

$$ \cos^2\theta=\frac{2}{3},\qquad \sin^2\theta=\frac{1}{3}

$$

であり、$0<\theta<\frac{\pi}{2}$ より、

$$ \cos\theta=\sqrt{\frac{2}{3}},\qquad \sin\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}

$$

である。

したがって、

$$ P=(2\cos\theta,\sin\theta) =\left(2\sqrt{\frac{2}{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =\left(\frac{2\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)

$$

である。

解説

この問題の中心は、接線の切片を用いて $QR$ の長さを表すことである。楕円上の点 $P=(a,b)$ における接線

$$ \frac{ax}{4}+by=1

$$

を立てると、$x$ 切片と $y$ 切片がすぐに求まる。

その後は、楕円上の条件

$$ \frac{a^2}{4}+b^2=1

$$

を使って $QR^2$ を $1$ 変数の関数に直す。長さ $QR$ そのものを最小化してもよいが、$QR>0$ なので $QR^2$ を最小化すれば十分である。

媒介変数表示を使う解法2は計算の見通しがよい。一方で、接線公式と切片計算を明確に処理するなら解法1が最も標準的である。

答え

$$ QR_{\min}=3

$$

そのときの点 $P$ の座標は

$$ P=\left(\frac{2\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)

$$