基礎問題集
数学C 式と曲線「楕円」の問題15 解説
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解説
方針・初手
$P$ はだ円 $C$ 上の点であり、直線 $OP$ の傾きは $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。
(1) は、この傾きをもつ直線 $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+k$ がだ円 $C$ に接する条件を調べればよい。
(2) は、$Q=(x,y)$ とおくと、$\triangle OPQ$ の面積が $x,y$ の一次式の絶対値で表されるので、その最大値をだ円上で求める。
解法1
まず、点 $P\left(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ より、直線 $OP$ の傾きは
$$ \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}
$$
である。
したがって、$OP$ に平行な直線は
$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+k
$$
と表せる。
これがだ円
$$ \frac{x^2}{4}+y^2=1
$$
に接する条件を求める。代入すると、
$$ \frac{x^2}{4}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x+k\right)^2=1
$$
である。展開して整理すると、
$$ x^2+\sqrt{3}kx+k^2-1=0
$$
となる。
この直線がだ円に接するためには、この $x$ の二次方程式が重解をもてばよい。判別式を $D$ とすると、
$$ D=(\sqrt{3}k)^2-4(k^2-1)=3k^2-4k^2+4=4-k^2
$$
である。よって接する条件は
$$ 4-k^2=0
$$
すなわち
$$ k=\pm 2
$$
である。
したがって、求める接線は
$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+2,\qquad y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-2
$$
である。
次に、$Q=(x,y)$ とおく。三角形 $OPQ$ の面積を $S$ とすると、
$$ S=\frac{1}{2}\left|1\cdot y-\frac{\sqrt{3}}{2}x\right|
$$
である。よって
$$ S=\frac{1}{2}\left|y-\frac{\sqrt{3}}{2}x\right|
$$
となる。
ここで、直線
$$ y-\frac{\sqrt{3}}{2}x=t
$$
を考える。この直線がだ円 $C$ と交わるような $t$ の範囲を調べれば、$\left|y-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x\right|$ の最大値が分かる。
これは
$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+t
$$
がだ円と共有点をもつ条件である。先ほどと同じ計算により、共有点をもつ条件は判別式が $0$ 以上であることだから、
$$ 4-t^2\geqq 0
$$
である。したがって
$$ -2\leqq t\leqq 2
$$
となる。
よって
$$ \left|y-\frac{\sqrt{3}}{2}x\right|
$$
の最大値は $2$ であり、三角形 $OPQ$ の面積の最大値は
$$ \frac{1}{2}\cdot 2=1
$$
である。
最大値を与えるのは $t=2$ または $t=-2$ のときである。
**(i)**
$t=2$ のとき
$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+2
$$
とだ円の接点を求める。先ほどの二次方程式に $k=2$ を代入すると、
$$ x^2+2\sqrt{3}x+3=0
$$
すなわち
$$ (x+\sqrt{3})^2=0
$$
である。よって
$$ x=-\sqrt{3}
$$
であり、
$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3})+2=\frac{1}{2}
$$
となる。したがって
$$ Q=\left(-\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)
$$
である。
**(ii)**
$t=-2$ のとき
$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-2
$$
とだ円の接点を求める。二次方程式に $k=-2$ を代入すると、
$$ x^2-2\sqrt{3}x+3=0
$$
すなわち
$$ (x-\sqrt{3})^2=0
$$
である。よって
$$ x=\sqrt{3}
$$
であり、
$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{3}-2=-\frac{1}{2}
$$
となる。したがって
$$ Q=\left(\sqrt{3},-\frac{1}{2}\right)
$$
である。
解説
(1) は「指定された方向に平行な接線」を求める問題なので、傾きを固定して切片だけを動かすのが自然である。だ円との交点を表す二次方程式が重解をもつとき、直線は接線になる。
(2) は、面積を座標で表すと
$$ \frac{1}{2}\left|y-\frac{\sqrt{3}}{2}x\right|
$$
となる点が重要である。この値は、$Q$ を通り $OP$ に平行な直線の切片の絶対値に対応している。したがって、最大値はだ円に平行接線が引ける限界、すなわち (1) で求めた接線の位置で達成される。
答え
**(1)**
$$ y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+2,\qquad y=\frac{\sqrt{3}}{2}x-2
$$
**(2)**
面積の最大値は
$$ 1
$$
最大値を与える $Q$ の座標は
$$ Q=\left(-\sqrt{3},\frac{1}{2}\right),\qquad Q=\left(\sqrt{3},-\frac{1}{2}\right)
$$