解説

方針・初手

数列 ${a_n}$ は等比数列であるから、まずその和 $b_n$ を求める。

その後、楕円の面積は「長半径と短半径の積に $\pi$ をかけたもの」であるため、

$$ S_n=\pi\left(\frac{43}{2}-b_n\right)\left(\frac{81}{10}+b_n\right)

$$

を $b_n$ の関数として考えればよい。

解法1

まず、$a_n$ は初項 $\dfrac{27}{10}$、公比 $\dfrac{2}{3}$ の等比数列である。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $b_n$ は

$$ \begin{aligned} b_n &=\frac{27}{10}\cdot \frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1-\frac{2}{3}}\\ &=\frac{27}{10}\cdot 3\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}\\ &=\frac{81}{10}\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}. \end{aligned}

$$

よって

$$ b_n=\frac{81}{10}\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}

$$

である。

次に、楕円

$$ \frac{x^2}{\left(\frac{43}{2}-b_n\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{81}{10}+b_n\right)^2} =1

$$

の面積 $S_n$ は

$$ S_n = \pi\left(\frac{43}{2}-b_n\right)\left(\frac{81}{10}+b_n\right)

$$

である。

ここで $t=b_n$ とおくと、

$$ S_n = \pi\left(\frac{43}{2}-t\right)\left(\frac{81}{10}+t\right)

$$

である。積の部分を整理する。

$$ \begin{aligned} \left(\frac{43}{2}-t\right)\left(\frac{81}{10}+t\right) &= \left(\frac{215}{10}-t\right)\left(\frac{81}{10}+t\right). \end{aligned}

$$

これは $t$ について上に凸の二次式である。最大となるのは

$$ t=\frac{\frac{215}{10}-\frac{81}{10}}{2} =\frac{134}{20} =\frac{67}{10}

$$

のときである。

したがって、$b_n$ が $\dfrac{67}{10}$ に最も近い自然数 $n$ を調べればよい。

$$ b_n=\frac{81}{10}\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}

$$

であるから、$b_n=\dfrac{67}{10}$ となると仮定すると、

$$ \frac{81}{10}\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\} = \frac{67}{10}

$$

より

$$ 81\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}=67

$$

である。よって

$$ \left(\frac{2}{3}\right)^n=\frac{14}{81}

$$

となる。

ここで

$$ \left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{16}{81},\qquad \left(\frac{2}{3}\right)^5=\frac{32}{243}

$$

であり、

$$ \frac{32}{243}<\frac{14}{81}<\frac{16}{81}

$$

であるから、候補は $n=4,5$ である。

それぞれの $b_n$ を求めると、

$$ b_4=\frac{81}{10}\left(1-\frac{16}{81}\right) =\frac{81}{10}\cdot\frac{65}{81} =\frac{13}{2}

$$

である。また、

$$ b_5=\frac{81}{10}\left(1-\frac{32}{243}\right) =\frac{81}{10}\cdot\frac{211}{243} =\frac{211}{30}

$$

である。

最大点 $\dfrac{67}{10}$ との差を比べると、

$$ \left|\frac{13}{2}-\frac{67}{10}\right| = \left|\frac{65}{10}-\frac{67}{10}\right| = \frac{1}{5}

$$

であり、

$$ \left|\frac{211}{30}-\frac{67}{10}\right| = \left|\frac{211}{30}-\frac{201}{30}\right| = \frac{1}{3}

$$

である。

したがって、$b_n$ は $n=4$ のとき $\dfrac{67}{10}$ に最も近い。ゆえに $S_n$ が最大となる自然数は

$$ n=4

$$

である。

このとき

$$ b_4=\frac{13}{2}

$$

なので、

$$ \begin{aligned} S_4 &= \pi\left(\frac{43}{2}-\frac{13}{2}\right) \left(\frac{81}{10}+\frac{13}{2}\right)\\ &= \pi\cdot 15\cdot \frac{146}{10}\\ &= \pi\cdot 15\cdot \frac{73}{5}\\ &= 219\pi. \end{aligned}

$$

よって、最大値は

$$ 219\pi

$$

である。

解説

この問題の中心は、楕円の面積を $b_n$ の二次関数として見ることである。

$b_n$ は $n$ が増えるにつれて単調に増加するが、連続変数としての面積最大点は $b_n=\dfrac{67}{10}$ の位置にある。したがって、自然数 $n$ に対しては、その値に最も近い $b_n$ を与える $n$ を選べばよい。

$n=4$ と $n=5$ の比較を省略すると、整数条件を落とすことになるため注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ b_n=\frac{81}{10}\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}

$$

**(2)**

$$ n=4,\qquad S_n=219\pi

$$