解説

方針・初手

接線条件は、直線を楕円に代入したときに得られる2次方程式が重解をもつ条件として求める。

点から引いた接線については、その点を通る直線を傾き $m$ で表し、接線条件から $m$ の2次方程式を作る。2つの接線が直交することは、傾きの積が $-1$ であることに対応する。

解法1

(1)

直線 $y=mx+n$ を楕円

$$ x^2+\frac{y^2}{4}=1

$$

に代入する。

$$ x^2+\frac{(mx+n)^2}{4}=1

$$

両辺に $4$ をかけて整理すると、

$$ (m^2+4)x^2+2mnx+n^2-4=0

$$

となる。

直線が楕円に接するためには、この $x$ についての2次方程式が重解をもてばよい。したがって判別式を $0$ として、

$$ (2mn)^2-4(m^2+4)(n^2-4)=0

$$

である。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} 4m^2n^2-4(m^2+4)(n^2-4)&=0\\ m^2n^2-(m^2+4)(n^2-4)&=0\\ m^2n^2-m^2n^2+4m^2-4n^2+16&=0\\ m^2-n^2+4&=0 \end{aligned}

$$

よって、接するための必要十分条件は

$$ n^2=m^2+4

$$

である。

(2)

点 $(2,1)$ を通る直線を

$$ y-1=m(x-2)

$$

とおく。すなわち

$$ y=mx+1-2m

$$

である。

これは $y=mx+n$ において

$$ n=1-2m

$$

としたものであるから、(1)の接線条件より

$$ (1-2m)^2=m^2+4

$$

を満たせばよい。

整理すると、

$$ \begin{aligned} 1-4m+4m^2&=m^2+4\\ 3m^2-4m-3&=0 \end{aligned}

$$

となる。

この2次方程式の2つの解を $m_1,m_2$ とすると、解と係数の関係より

$$ m_1m_2=\frac{-3}{3}=-1

$$

である。

また、判別式は

$$ (-4)^2-4\cdot 3\cdot(-3)=52>0

$$

であるから、異なる2つの接線が存在する。

2つの直線の傾きの積が $-1$ であるので、点 $(2,1)$ から楕円に引いた2つの接線は直交する。

(3)

直交する2つの接線の交点を $P(X,Y)$ とする。

まず、接線のどちらも垂直線でない場合を考える。点 $P(X,Y)$ を通る傾き $m$ の直線は

$$ y-Y=m(x-X)

$$

すなわち

$$ y=mx+Y-mX

$$

である。

(1)の接線条件を使うと、

$$ (Y-mX)^2=m^2+4

$$

である。

これを $m$ について整理すると、

$$ (X^2-1)m^2-2XYm+Y^2-4=0

$$

となる。

この2次方程式の2つの解が、点 $P$ から引いた2本の接線の傾きである。これらを $m_1,m_2$ とすると、解と係数の関係より

$$ m_1m_2=\frac{Y^2-4}{X^2-1}

$$

である。

2つの接線が直交するためには

$$ m_1m_2=-1

$$

であればよい。したがって

$$ \frac{Y^2-4}{X^2-1}=-1

$$

より、

$$ Y^2-4=-X^2+1

$$

となる。よって

$$ X^2+Y^2=5

$$

を得る。

次に、垂直な接線を含む場合を確認する。楕円

$$ x^2+\frac{y^2}{4}=1

$$

の垂直な接線は $x=\pm1$、水平な接線は $y=\pm2$ である。垂直線と直交する接線は水平線であるから、その交点は

$$ (\pm1,\pm2)

$$

である。これらはいずれも

$$ x^2+y^2=1+4=5

$$

を満たす。

逆に、円

$$ X^2+Y^2=5

$$

上の点 $P(X,Y)$ を考える。

$X^2\neq 1$ のとき、上で得た2次方程式

$$ (X^2-1)m^2-2XYm+Y^2-4=0

$$

について、解の積は

$$ \frac{Y^2-4}{X^2-1}

$$

である。ここで $X^2+Y^2=5$ より、

$$ Y^2-4=1-X^2=-(X^2-1)

$$

だから、

$$ \frac{Y^2-4}{X^2-1}=-1

$$

である。

また、このとき判別式は

$$ \begin{aligned} \frac{\Delta}{4} &=X^2Y^2-(X^2-1)(Y^2-4)\\ &=4X^2+Y^2-4\\ &=3X^2+1 \end{aligned}

$$

となり、常に正である。したがって異なる2本の接線が存在し、その傾きの積は $-1$ である。

$X^2=1$ のときは、$X^2+Y^2=5$ より $Y^2=4$ であるから、点は $(\pm1,\pm2)$ である。この場合も、垂直な接線 $x=\pm1$ と水平な接線 $y=\pm2$ が直交する。

以上より、直交する2つの接線の交点の軌跡は

$$ x^2+y^2=5

$$

である。

解説

この問題の中心は、楕円と直線の接線条件を判別式で処理することである。

(1)で得た

$$ n^2=m^2+4

$$

は以後の基本式になる。点を通る接線では、直線の切片 $n$ を点の座標と傾き $m$ で表し、それを接線条件へ代入すればよい。

(3)では、交点を $P(X,Y)$ とおき、そこを通る接線の傾きを $m$ として2次方程式を作る。この2次方程式の2つの解が2本の接線の傾きであるため、直交条件は解と係数の関係から処理できる。

垂直な接線は傾きで表せないので、最後に $x=\pm1$ の場合を別に確認する必要がある。この確認を省くと、軌跡上の点 $(\pm1,\pm2)$ を落とす危険がある。

答え

**(1)**

$$ n^2=m^2+4

$$

**(2)**

点 $(2,1)$ から引いた2つの接線の傾きを $m_1,m_2$ とすると、

$$ 3m^2-4m-3=0

$$

の2解であり、

$$ m_1m_2=-1

$$

となる。よって2つの接線は直交する。

**(3)**

$$ x^2+y^2=5

$$