解説

方針・初手

$xy$ の最大値を求めるには、与えられた式 $9x^2+16y^2$ と $xy$ を結びつける。$x,y$ は正なので、相加平均・相乗平均の関係をそのまま使える。

解法1

相加平均・相乗平均より、

$$ 9x^2+16y^2 \geqq 2\sqrt{9x^2\cdot 16y^2}

$$

である。$x,y$ は正であるから、

$$ \sqrt{9x^2\cdot 16y^2}=12xy

$$

となる。よって、

$$ 9x^2+16y^2 \geqq 24xy

$$

である。

条件 $9x^2+16y^2=144$ を代入すると、

$$ 144 \geqq 24xy

$$

より、

$$ xy \leqq 6

$$

を得る。

等号成立条件は

$$ 9x^2=16y^2

$$

すなわち、$x,y$ は正なので

$$ 3x=4y

$$

である。このとき条件式と両立するかを確認する。

$3x=4y$ より $y=\dfrac{3}{4}x$ であるから、

$$ 9x^2+16\left(\frac{3}{4}x\right)^2=144

$$

となる。これを整理すると、

$$ 9x^2+9x^2=144

$$

より、

$$ 18x^2=144

$$

したがって、

$$ x^2=8

$$

である。このとき

$$ xy=x\cdot \frac{3}{4}x=\frac{3}{4}x^2=\frac{3}{4}\cdot 8=6

$$

となり、実際に $xy=6$ は達成される。

したがって、$xy$ の最大値は $6$ である。

解説

この問題では、$9x^2$ と $16y^2$ の積を考えると $xy$ が現れることに気づくのが要点である。

$$ 9x^2\cdot 16y^2=(12xy)^2

$$

となるため、相加平均・相乗平均を使えばすぐに $xy$ の上限が得られる。さらに最大値を答えるには、等号成立条件が実際に満たせることまで確認する必要がある。

答え

$$ \boxed{6}

$$