基礎問題集
数学C 式と曲線「楕円」の問題24 解説
数学Cの式と曲線「楕円」にある問題24の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ なので、三角形 $OAB$ は $O$ を直角とする直角三角形である。まず直角三角形の面積から、斜辺 $AB$ への高さ $h$ と $OA,OB$ の関係を出す。
その後、$OA$ の向きを角 $\theta$ で表し、$OB$ はそれに直交する方向にあることを利用して、楕円の式から $\dfrac{1}{OA^2},\dfrac{1}{OB^2}$ を求める。
解法1
**(1)**
$OA=p,\ OB=q$ とおく。$\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ であるから、三平方の定理より
$$ AB^2=p^2+q^2
$$
である。
また、三角形 $OAB$ の面積を2通りに表す。直角をはさむ2辺を底辺と高さと見ると、面積は
$$ \frac{1}{2}pq
$$
である。一方、$AB$ を底辺とし、原点 $O$ から直線 $AB$ への距離を $h$ と見ると、面積は
$$ \frac{1}{2}AB\cdot h
$$
である。したがって
$$ \frac{1}{2}pq=\frac{1}{2}AB\cdot h
$$
より
$$ h=\frac{pq}{AB}
$$
となる。よって
$$ \begin{aligned} \frac{1}{h^2} &= \frac{AB^2}{p^2q^2}\\ &= \frac{p^2+q^2}{p^2q^2}\\ &= \frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2} \end{aligned} $$
である。$p=OA,\ q=OB$ であるから、
$$ \frac{1}{h^2} = \frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}
$$
が示された。
**(2)**
$OA=r$ とし、半直線 $OA$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とする。このとき
$$ A=(r\cos\theta,\ r\sin\theta)
$$
と表せる。
点 $A$ は楕円
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
$$
上にあるから、
$$ \frac{r^2\cos^2\theta}{a^2}+\frac{r^2\sin^2\theta}{b^2}=1
$$
である。したがって
$$ \frac{1}{r^2} = \frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}
$$
となる。
次に、$\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ より、$OB$ は $OA$ に垂直な方向にある。$OB=s$ とおくと、符号の違いは平方に影響しないので、
$$ B=(-s\sin\theta,\ s\cos\theta)
$$
としてよい。
点 $B$ も楕円上にあるから、
$$ \frac{s^2\sin^2\theta}{a^2}+\frac{s^2\cos^2\theta}{b^2}=1
$$
である。したがって
$$ \frac{1}{s^2} = \frac{\sin^2\theta}{a^2}+\frac{\cos^2\theta}{b^2}
$$
となる。
ここで $r=OA,\ s=OB$ であるから、(1) の結果より
$$ \begin{aligned} \frac{1}{h^2} &= \frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2} \\ &= \left(\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2}\right) + \left(\frac{\sin^2\theta}{a^2}+\frac{\cos^2\theta}{b^2}\right) \\ &= \frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{b^2} \\ &= \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}. \end{aligned}
$$
よって
$$ \frac{1}{h^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2b^2}
$$
である。$h>0$ なので、
$$ h= \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}
$$
を得る。
解説
この問題の核は、$\angle AOB=\dfrac{\pi}{2}$ から三角形 $OAB$ を直角三角形として扱う点である。(1) は直角三角形における「斜辺への高さ」の公式そのものであり、面積を2通りに表すのが最も自然である。
**(2)**
では、楕円上の点を直接パラメータ表示するよりも、$OA$ の方向を $\theta$ として、$OB$ がそれに直交する方向にあることを使うと計算が短くなる。楕円の式から $\dfrac{1}{OA^2}$ と $\dfrac{1}{OB^2}$ がそれぞれ求まり、足すと $\theta$ が消えることが重要である。
答え
**(1)**
$$ \frac{1}{h^2} = \frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}
$$
である。
**(2)**
$$ h= \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}
$$