基礎問題集
数学C 式と曲線「双曲線」の問題5 解説
数学Cの式と曲線「双曲線」にある問題5の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
双曲線
$$ px^2-y^2=1
$$
は $x$ 軸方向に開く双曲線であり、漸近線は最高次の部分
$$ px^2-y^2=0
$$
から求める。
接線については、点 $\left(\dfrac{1}{\sqrt p},2\right)$ を通る直線をおき、それを双曲線の方程式に代入して、交点が重解になる条件を使う。
解法1
双曲線
$$ px^2-y^2=1
$$
の漸近線は
$$ px^2-y^2=0
$$
より
$$ y=\pm \sqrt p x
$$
である。したがって、$①=\sqrt p$ である。
点
$$ \left(\frac{1}{\sqrt p},0\right)
$$
は双曲線上の点である。この点では双曲線の接線は $y$ 軸に平行であるから、接線の方程式は
$$ x=\frac{1}{\sqrt p}
$$
である。よって $②=x=\dfrac{1}{\sqrt p}$ である。
もう一方の接線を考える。この接線は点
$$ \left(\frac{1}{\sqrt p},2\right)
$$
を通り、傾きが $m$ であるから
$$ y=m\left(x-\frac{1}{\sqrt p}\right)+2
$$
とおける。したがって、$③=\dfrac{1}{\sqrt p}$、$④=2$ である。
この直線を
$$ y=mx+2-\frac{m}{\sqrt p}
$$
と書く。これを双曲線の方程式 $px^2-y^2=1$ に代入する。
$$ px^2-\left(mx+2-\frac{m}{\sqrt p}\right)^2=1
$$
これが $x$ について重解をもつことが、直線が双曲線に接する条件である。
ただし、$m$ は接線
$$ x=\frac{1}{\sqrt p}
$$
とは異なる接線の傾きである。
計算を進めると、重解条件から
$$ m=\frac{5\sqrt p}{4}
$$
を得る。よって $⑤=\dfrac{5\sqrt p}{4}$ である。
これを直線の式に代入すると、
$$ \begin{aligned} y&=\frac{5\sqrt p}{4}\left(x-\frac{1}{\sqrt p}\right)+2\\ &=\frac{5\sqrt p}{4}x-\frac{5}{4}+2\\ &=\frac{5\sqrt p}{4}x+\frac{3}{4} \end{aligned}
$$
したがって、
$$ y=\frac{5\sqrt p}{4}x+\frac{3}{4}
$$
であり、$⑤=\dfrac{5\sqrt p}{4}$、$⑥=\dfrac{3}{4}$ である。
次に、接点を求める。接線
$$ y=\frac{5\sqrt p}{4}x+\frac{3}{4}
$$
を双曲線に代入する。
$$ px^2-\left(\frac{5\sqrt p}{4}x+\frac{3}{4}\right)^2=1
$$
両辺を整理する。
$$ px^2-\left(\frac{25p}{16}x^2+\frac{15\sqrt p}{8}x+\frac{9}{16}\right)=1
$$
$$ -\frac{9p}{16}x^2-\frac{15\sqrt p}{8}x-\frac{9}{16}=1
$$
両辺に $16$ をかけて整理する。
$$ -9px^2-30\sqrt p x-9=16
$$
$$ 9px^2+30\sqrt p x+25=0
$$
これは
$$ (3\sqrt p x+5)^2=0
$$
となるので、
$$ x=-\frac{5}{3\sqrt p}
$$
である。
これを接線の式に代入すると、
$$ \begin{aligned} y&=\frac{5\sqrt p}{4}\left(-\frac{5}{3\sqrt p}\right)+\frac{3}{4}\\ &=-\frac{25}{12}+\frac{9}{12}\\ &=-\frac{16}{12}\\ &=-\frac{4}{3} \end{aligned}
$$
よって接点は
$$ \left(-\frac{5}{3\sqrt p},-\frac{4}{3}\right)
$$
である。
したがって、$⑦=-\dfrac{5}{3\sqrt p}$、$⑧=-\dfrac{4}{3}$ である。
$p=\dfrac14$ のとき、
$$ \sqrt p=\frac12
$$
であるから、双曲線、漸近線、接線はそれぞれ
$$ \frac14x^2-y^2=1
$$
$$ y=\pm \frac12x
$$
$$ y=\frac58x+\frac34
$$
である。
また、接線 $C$ の接点は
$$ \left(-\frac{10}{3},-\frac{4}{3}\right)
$$
である。双曲線は $x$ 軸方向に開き、頂点は
$$ (-2,0),\ (2,0)
$$
である。接線 $x=2$ は右側の頂点 $(2,0)$ における接線であり、接線 $C$ は左側の枝に接する。
解説
この問題では、双曲線の漸近線と接線条件を正確に処理することが重要である。
漸近線は定数項を無視した式
$$ px^2-y^2=0
$$
から求める。
接線については、点 $\left(\dfrac{1}{\sqrt p},2\right)$ を通る直線を
$$ y=m\left(x-\frac{1}{\sqrt p}\right)+2
$$
とおき、双曲線に代入して重解条件を使うのが基本である。
また、点 $\left(\dfrac{1}{\sqrt p},0\right)$ における接線は通常の傾きで表せない。ここを無理に $y=mx+n$ とおくと見落とすので、縦の接線
$$ x=\frac{1}{\sqrt p}
$$
として扱う必要がある。
答え
$$ ①=\sqrt p
$$
$$ ②\ x=\frac{1}{\sqrt p}
$$
$$ ③=\frac{1}{\sqrt p}
$$
$$ ④=2
$$
$$ ⑤=\frac{5\sqrt p}{4}
$$
$$ ⑥=\frac{3}{4}
$$
$$ ⑦=-\frac{5}{3\sqrt p}
$$
$$ ⑧=-\frac{4}{3}
$$
$⑨$ は、$p=\dfrac14$ として次の3つを同じ座標平面上にかく。
$$
**(A)**
\quad \frac14x^2-y^2=1
$$
$$
**(B)**
\quad y=\pm \frac12x
$$
$$
**(C)**
\quad y=\frac58x+\frac34
$$
このとき、双曲線の頂点は $(-2,0),(2,0)$、接線 $C$ の接点は
$$ \left(-\frac{10}{3},-\frac{4}{3}\right)
$$
である。