解説

方針・初手

双曲線

$$ C:x^2-\frac{y^2}{4}=-1

$$

は

$$ \frac{y^2}{4}-x^2=1

$$

と見れば、$y$ 軸方向に開く双曲線である。接線については、直線を代入して二次方程式が重解をもつ条件を調べるのが基本である。

解法1

(1) 漸近線

双曲線

$$ x^2-\frac{y^2}{4}=-1

$$

の漸近線は、右辺の定数項を $0$ とした

$$ x^2-\frac{y^2}{4}=0

$$

から求める。

これを変形すると

$$ y^2=4x^2

$$

より、

$$ y=\pm 2x

$$

である。

したがって、$C$ の漸近線は

$$ y=2x,\qquad y=-2x

$$

である。

(2) 直線 $y=mx$ が $C$ に接しないこと

直線 $y=mx$ と $C$ の共有点を調べる。$y=mx$ を

$$ x^2-\frac{y^2}{4}=-1

$$

に代入すると、

$$ x^2-\frac{m^2x^2}{4}=-1

$$

すなわち

$$ \left(1-\frac{m^2}{4}\right)x^2=-1

$$

を得る。

ここで場合分けする。

**(i)**

$m^2<4$ のとき

$$ 1-\frac{m^2}{4}>0

$$

であるから、左辺は $0$ 以上である。一方、右辺は $-1$ であるから実数解をもたない。

したがって、この場合は共有点がない。

**(ii)**

$m^2=4$ のとき

$$ 1-\frac{m^2}{4}=0

$$

であるから、式は

$$ 0=-1

$$

となり、実数解をもたない。

したがって、この場合も共有点がない。

**(iii)**

$m^2>4$ のとき

$$ 1-\frac{m^2}{4}<0

$$

であるから、

$$ x^2=\frac{1}{\frac{m^2}{4}-1}

$$

となり、$x$ は正負の $2$ 個の値をもつ。よって共有点は $2$ 個である。

以上より、直線 $y=mx$ は $C$ と共有点をもたないか、または $2$ 個の共有点をもつ。したがって、$1$ 点で接することはなく、任意の実数 $m$ に対して直線 $y=mx$ は $C$ に接しない。

(3) 点 $A(\sqrt{3},0)$ を通る $C$ の接線

点 $A(\sqrt{3},0)$ を通る直線を

$$ y=k(x-\sqrt{3})

$$

とおく。これを $C$ に代入する。

$$ x^2-\frac{k^2(x-\sqrt{3})^2}{4}=-1

$$

両辺に $4$ をかけて整理すると、

$$ 4x^2-k^2(x-\sqrt{3})^2=-4

$$

すなわち

$$ (4-k^2)x^2+2\sqrt{3}k^2x+4-3k^2=0

$$

を得る。

この直線が $C$ に接するためには、この $x$ についての二次方程式が重解をもてばよい。判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} D &=(2\sqrt{3}k^2)^2-4(4-k^2)(4-3k^2) \\ &=12k^4-4(16-16k^2+3k^4) \\ &=64k^2-64 \\ &=64(k^2-1) \end{aligned}

$$

である。

接する条件は $D=0$ であるから、

$$ 64(k^2-1)=0

$$

より

$$ k=\pm 1

$$

である。

したがって、求める接線は

$$ y=x-\sqrt{3}

$$

および

$$ y=-x+\sqrt{3}

$$

である。

(4) 点 $P(p,q)$ を通る $C$ の接線がちょうど $2$ 本あり、それらが直交する条件

傾き $t$、切片 $b$ の直線

$$ y=tx+b

$$

が $C$ に接する条件を求める。

$y=tx+b$ を $C$ に代入すると、

$$ x^2-\frac{(tx+b)^2}{4}=-1

$$

である。両辺に $4$ をかけて整理すると、

$$ (4-t^2)x^2-2tbx+4-b^2=0

$$

を得る。

この二次方程式が重解をもてばよいから、判別式を $0$ として

$$ (-2tb)^2-4(4-t^2)(4-b^2)=0

$$

となる。整理すると、

$$ t^2+b^2=4

$$

である。

したがって、$C$ の接線は

$$ y=tx+b,\qquad t^2+b^2=4

$$

と表される。

この接線が $P(p,q)$ を通るためには、

$$ q=tp+b

$$

すなわち

$$ b=q-pt

$$

である。これを $t^2+b^2=4$ に代入すると、

$$ t^2+(q-pt)^2=4

$$

である。整理して、

$$ (1+p^2)t^2-2pqt+q^2-4=0

$$

を得る。

これは、点 $P(p,q)$ を通る $C$ の接線の傾き $t$ を決める二次方程式である。

接線がちょうど $2$ 本あるためには、この方程式が相異なる $2$ 個の実数解をもてばよい。判別式を調べると、

$$ \begin{aligned} D &=(-2pq)^2-4(1+p^2)(q^2-4) \\ &=4p^2q^2-4(1+p^2)(q^2-4) \\ &=4{p^2q^2-q^2-p^2q^2+4+4p^2} \\ &=4{4(1+p^2)-q^2} \end{aligned}

$$

である。

よって、接線がちょうど $2$ 本ある条件は

$$ q^2<4(1+p^2)

$$

である。

次に、この $2$ 本の接線が直交する条件を求める。二次方程式

$$ (1+p^2)t^2-2pqt+q^2-4=0

$$

の $2$ つの解を $t_1,t_2$ とすると、解と係数の関係より

$$ t_1t_2=\frac{q^2-4}{1+p^2}

$$

である。

$2$ 本の直線が直交する条件は、傾きの積が $-1$ となることであるから、

$$ \frac{q^2-4}{1+p^2}=-1

$$

である。これを整理すると、

$$ q^2-4=-(1+p^2)

$$

より、

$$ p^2+q^2=3

$$

を得る。

このとき

$$ q^2\leq 3<4\leq 4(1+p^2)

$$

であるから、接線は確かにちょうど $2$ 本存在する。また、

$$ p^2+q^2=3

$$

は

$$ q^2=4(1+p^2)

$$

とは同時に成り立たないので、$P$ は $C$ 上にない。

したがって、求める条件は

$$ p^2+q^2=3

$$

である。

解説

この問題では、双曲線の接線を扱うときに、接点を直接置くよりも直線を代入して判別式を使う方が処理しやすい。

特に (4) では、接線の傾き $t$ を未知数にして

$$ (1+p^2)t^2-2pqt+q^2-4=0

$$

を作ることが重要である。この二次方程式の解が、点 $P(p,q)$ を通る接線の傾きに対応する。したがって、接線の本数は判別式、直交条件は解と係数の関係で処理できる。

また、直交条件を調べるときは、接線そのものをすべて求める必要はない。傾きの積だけを見れば十分である。

答え

**(1)**

$$ y=2x,\qquad y=-2x

$$

**(2)**

任意の実数 $m$ に対して、直線 $y=mx$ は $C$ に接しない。

**(3)**

$$ y=x-\sqrt{3},\qquad y=-x+\sqrt{3}

$$

**(4)**

$$ p^2+q^2=3

$$