解説

方針・初手

交点 $P$ の座標を $\sin\theta,\cos\theta$ で表すと、接線の $y$ 切片がすぐに求まる。したがって、まず $P$ の座標を求め、次に $C_1,C_2$ の接線の $y$ 切片の差を計算すればよい。

解法1

$c=\cos\theta,\ s=\sin\theta$ とおく。条件より $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ であるから、$c>0,\ s>0$ である。

交点 $P=(X,Y)$ は $x,y$ 座標がともに正であり、次を満たす。

$$ X^2+3Y^2=3

$$

$$ \frac{X^2}{c^2}-\frac{Y^2}{s^2}=2

$$

ここで $X^2=u,\ Y^2=v$ とおくと、

$$ u+3v=3

$$

$$ \frac{u}{c^2}-\frac{v}{s^2}=2

$$

である。第1式から $u=3-3v$ なので、これを第2式に代入すると、

$$ \frac{3-3v}{c^2}-\frac{v}{s^2}=2

$$

すなわち

$$ \frac{3}{c^2}-v\left(\frac{3}{c^2}+\frac{1}{s^2}\right)=2

$$

である。よって

$$ v= \frac{\frac{3}{c^2}-2}{\frac{3}{c^2}+\frac{1}{s^2}}

$$

となる。分子・分母を整理すると、

$$ \frac{3}{c^2}-2=\frac{3-2c^2}{c^2}

$$

$$ \begin{aligned} \frac{3}{c^2}+\frac{1}{s^2} &= \frac{3s^2+c^2}{c^2s^2}\\ &= \frac{3(1-c^2)+c^2}{c^2s^2}\\ &= \frac{3-2c^2}{c^2s^2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ v=s^2

$$

である。したがって $Y=s$ であり、

$$ u=3-3s^2=3c^2

$$

より $X=\sqrt{3}c$ である。よって

$$ P=(\sqrt{3}\cos\theta,\ \sin\theta)

$$

である。

次に、$P$ における接線を求める。

$C_1:x^2+3y^2=3$ の点 $(X,Y)$ における接線は

$$ Xx+3Yy=3

$$

である。ここに $X=\sqrt{3}c,\ Y=s$ を代入すると、

$$ \sqrt{3}cx+3sy=3

$$

となる。$y$ 軸との交点では $x=0$ であるから、

$$ 3sy=3

$$

より、

$$ y=\frac{1}{s}

$$

である。したがって

$$ Q=\left(0,\frac{1}{s}\right)

$$

である。

また、$C_2:\dfrac{x^2}{c^2}-\dfrac{y^2}{s^2}=2$ の点 $(X,Y)$ における接線は

$$ \frac{Xx}{c^2}-\frac{Yy}{s^2}=2

$$

である。ここに $X=\sqrt{3}c,\ Y=s$ を代入すると、

$$ \frac{\sqrt{3}c}{c^2}x-\frac{s}{s^2}y=2

$$

すなわち

$$ \frac{\sqrt{3}}{c}x-\frac{1}{s}y=2

$$

となる。$y$ 軸との交点では $x=0$ であるから、

$$ -\frac{1}{s}y=2

$$

より、

$$ y=-2s

$$

である。したがって

$$ R=(0,-2s)

$$

である。

ゆえに線分 $QR$ の長さは

$$ QR=\frac{1}{s}-(-2s)=\frac{1}{s}+2s

$$

である。ただし $0<s<1$ である。

ここで相加相乗平均の不等式より、

$$ \frac{1}{s}+2s \geq 2\sqrt{\frac{1}{s}\cdot 2s}=2\sqrt{2}

$$

である。等号成立条件は

$$ \frac{1}{s}=2s

$$

すなわち

$$ s^2=\frac{1}{2}

$$

である。$0<s<1$ より

$$ s=\frac{1}{\sqrt{2}}

$$

となり、これは $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のとき実現する。

したがって、線分 $QR$ の長さの最小値は

$$ 2\sqrt{2}

$$

である。

解説

この問題の中心は、交点 $P$ の座標を直接求めるところにある。2つの曲線の交点を一般に解こうとすると複雑に見えるが、$X^2,Y^2$ を未知数にすると連立一次方程式になり、

$$ P=(\sqrt{3}\cos\theta,\ \sin\theta)

$$

と簡単に決まる。

その後は、楕円と双曲線の標準的な接線公式を使えば、$y$ 切片がそれぞれ $\dfrac{1}{\sin\theta}$ と $-2\sin\theta$ になる。最後は

$$ \frac{1}{\sin\theta}+2\sin\theta

$$

の最小化に帰着する。

注意すべき点は、$\theta$ の範囲から $\sin\theta>0,\cos\theta>0$ が成り立つため、交点 $P$ の座標を正の平方根で取れることである。また、$Q,R$ はともに $y$ 軸上の点なので、線分 $QR$ の長さは $y$ 座標の差の絶対値で求められる。

答え

$$ 2\sqrt{2}

$$