解説

方針・初手

直線 $l$ を

$$ y=m(x-2)

$$

とおき、双曲線

$$ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1

$$

に代入して、交点の $x$ 座標を表す2次方程式を調べる。

特に、$H_1$ と $H_2$ の両方と交わるかどうかは、交点の $x$ 座標が正負に分かれるかで判定できる。

解法1

直線 $l:y=m(x-2)$ を $H$ に代入する。

$$ \frac{x^2}{9}-\frac{m^2(x-2)^2}{4}=1

$$

両辺に $36$ をかけて整理すると、

$$ 4x^2-9m^2(x-2)^2=36

$$

すなわち

$$ (4-9m^2)x^2+36m^2x-36(m^2+1)=0

$$

を得る。これを交点の $x$ 座標についての方程式とみる。

まず、これが2次方程式であるためには

$$ 4-9m^2 \neq 0

$$

すなわち

$$ m\neq \pm \frac{2}{3}

$$

が必要である。

判別式を $D$ とすると、

$$ \begin{aligned} D &=(36m^2)^2-4(4-9m^2){-36(m^2+1)} \\ &=1296m^4+144(4-9m^2)(m^2+1) \\ &=144(4-5m^2) \end{aligned}

$$

である。

直線 $l$ が $H$ と相異なる2個の共有点をもつためには、2次方程式が相異なる2つの実数解をもてばよい。したがって

$$ D>0

$$

より

$$ 4-5m^2>0

$$

であるから、

$$ -\frac{2}{\sqrt{5}}<m<\frac{2}{\sqrt{5}}

$$

となる。

ただし、$m=\pm \frac{2}{3}$ のときは $x^2$ の係数が $0$ になり、方程式は1次方程式となる。実際、このとき交点は1個だけである。よって除外する。

したがって、(1) の範囲は

$$ -\frac{2}{\sqrt{5}}<m<\frac{2}{\sqrt{5}},\qquad m\neq \pm \frac{2}{3}

$$

である。

次に、$l$ が $H_1$ と $H_2$ の両方と共有点をもつ条件を調べる。

交点の $x$ 座標を $\alpha,\beta$ とする。$H_1$ は $x>0$ の部分、$H_2$ は $x<0$ の部分であるから、両方と交わるためには $\alpha,\beta$ が正負に分かれればよい。

2次方程式

$$ (4-9m^2)x^2+36m^2x-36(m^2+1)=0

$$

について、解と係数の関係より

$$ \alpha\beta=\frac{-36(m^2+1)}{4-9m^2}

$$

である。

$\alpha,\beta$ が正負に分かれる条件は

$$ \alpha\beta<0

$$

である。分子 $-36(m^2+1)$ は常に負であるから、

$$ 4-9m^2>0

$$

が必要十分条件となる。

よって

$$ -\frac{2}{3}<m<\frac{2}{3}

$$

である。

次に、中点 $M$ の軌跡を求める。

$l$ が $H_1,H_2$ の両方と交わるとき、その交点を $P_1,P_2$ とし、それぞれの $x$ 座標を $\alpha,\beta$ とする。中点を

$$ M=(X,Y)

$$

とおく。

解と係数の関係より、

$$ \alpha+\beta=-\frac{36m^2}{4-9m^2}

$$

であるから、

$$ X=\frac{\alpha+\beta}{2} =-\frac{18m^2}{4-9m^2}

$$

となる。

また、$P_1,P_2$ はどちらも直線 $y=m(x-2)$ 上にあるので、中点 $M$ も同じ直線上にある。したがって

$$ Y=m(X-2)

$$

である。

ここで

$$ X=-\frac{18m^2}{4-9m^2}

$$

から $m^2$ を $X$ で表す。

$$ X(4-9m^2)=-18m^2

$$

より、

$$ 4X=9(X-2)m^2

$$

したがって

$$ m^2=\frac{4X}{9(X-2)}

$$

である。

一方、

$$ Y=m(X-2)

$$

であるから、

$$ Y^2=m^2(X-2)^2

$$

となる。これに先ほどの式を代入すると、

$$ Y^2=\frac{4X}{9(X-2)}(X-2)^2

$$

よって

$$ Y^2=\frac{4X(X-2)}{9}

$$

である。

整理して、

$$ 9Y^2=4X^2-8X

$$

すなわち

$$ 4X^2-8X-9Y^2=0

$$

を得る。平方完成すると、

$$ 4(X-1)^2-9Y^2=4

$$

である。

したがって、2次曲線 $C$ の方程式は

$$ 4(x-1)^2-9y^2=4

$$

である。

標準形にすると、

$$ \frac{(x-1)^2}{1}-\frac{y^2}{\frac{4}{9}}=1

$$

である。よって $C$ は中心 $(1,0)$、横軸方向に開く双曲線である。

この双曲線について

$$ a^2=1,\qquad b^2=\frac{4}{9}

$$

であるから、焦点までの距離 $c$ は

$$ c^2=a^2+b^2 =1+\frac{4}{9} =\frac{13}{9}

$$

より、

$$ c=\frac{\sqrt{13}}{3}

$$

である。

したがって、焦点の座標は

$$ \left(1-\frac{\sqrt{13}}{3},0\right),\qquad \left(1+\frac{\sqrt{13}}{3},0\right)

$$

である。

解説

この問題の中心は、直線と双曲線の交点を $x$ 座標の2次方程式として処理することである。

(1) では判別式だけでなく、$x^2$ の係数が $0$ になる $m=\pm \frac{2}{3}$ を除外する必要がある。この2つは、見落としやすい特殊値である。

(2) では、$H_1,H_2$ の区別が $x$ の符号で決まるため、交点の $x$ 座標の積を見るのが最短である。

(3) では、中点の $x$ 座標を解と係数の関係で表し、中点も直線 $l$ 上にあることを使って $Y=m(X-2)$ とするのが要点である。実際に中点 $M$ が動くのは得られた双曲線の一部であるが、2次曲線 $C$ の方程式としては

$$ 4(x-1)^2-9y^2=4

$$

で表される。

答え

**(1)**

$$ -\frac{2}{\sqrt{5}}<m<\frac{2}{\sqrt{5}},\qquad m\neq \pm \frac{2}{3}

$$

**(2)**

$$ -\frac{2}{3}<m<\frac{2}{3}

$$

**(3)**

$$ 4(x-1)^2-9y^2=4

$$

**(4)**

$$ \left(1-\frac{\sqrt{13}}{3},0\right),\qquad \left(1+\frac{\sqrt{13}}{3},0\right)

$$