基礎問題集
数学C 式と曲線「双曲線」の問題10 解説
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解説
方針・初手
双曲線
$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
$$
の右上の点 $P(p,q)$ を考える。まず $P$ が曲線上にある条件から $q$ を $p$ で表し、次に接線 $m$ と漸近線 $\ell$、および $x$ 軸との交点をそれぞれ求める。
解法1
双曲線
$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
$$
の漸近線は
$$ y=\pm \frac{b}{a}x
$$
である。傾きが正のものが $\ell$ だから、
$$ \ell:\ y=\frac{b}{a}x
$$
である。
次に、点 $P(p,q)$ は曲線 $C$ 上にあり、$p>0,\ q>0$ であるから、
$$ \frac{p^2}{a^2}-\frac{q^2}{b^2}=1
$$
が成り立つ。これより
$$ \frac{q^2}{b^2}=\frac{p^2-a^2}{a^2}
$$
であり、$q>0$ だから
$$ q=\frac{b}{a}\sqrt{p^2-a^2}
$$
である。したがって $p>a$ である。
双曲線
$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
$$
の点 $P(p,q)$ における接線は
$$ \frac{px}{a^2}-\frac{qy}{b^2}=1
$$
である。ここに
$$ q=\frac{b}{a}\sqrt{p^2-a^2}
$$
を代入すると、
$$ \frac{px}{a^2}-\frac{\sqrt{p^2-a^2}}{ab}y=1
$$
となる。よって、接線 $m$ の方程式は
$$ m:\ \frac{px}{a^2}-\frac{\sqrt{p^2-a^2}}{ab}y=1
$$
である。
次に、$\ell$ と $m$ の交点を $Q$ とする。$\ell$ 上では
$$ y=\frac{b}{a}x
$$
であるから、これを接線 $m$ に代入する。
$$ \frac{px}{a^2}-\frac{\sqrt{p^2-a^2}}{ab}\cdot \frac{b}{a}x=1
$$
すなわち
$$ \frac{p-\sqrt{p^2-a^2}}{a^2}x=1
$$
である。よって
$$ x=\frac{a^2}{p-\sqrt{p^2-a^2}}
$$
となる。分母を有理化すると、
$$ x=p+\sqrt{p^2-a^2}
$$
である。したがって
$$ Q\left(p+\sqrt{p^2-a^2},\frac{b}{a}\left(p+\sqrt{p^2-a^2}\right)\right)
$$
である。
また、$R$ は接線 $m$ と $x$ 軸の交点である。$x$ 軸上では $y=0$ だから、
$$ \frac{px}{a^2}=1
$$
より
$$ x=\frac{a^2}{p}
$$
である。したがって
$$ R\left(\frac{a^2}{p},0\right)
$$
である。
三角形 $OQR$ は、$OR$ を底辺と見ると、底辺の長さは
$$ \frac{a^2}{p}
$$
であり、高さは点 $Q$ の $y$ 座標
$$ \frac{b}{a}\left(p+\sqrt{p^2-a^2}\right)
$$
である。よって面積 $S(p)$ は
$$ \begin{aligned} S(p) &=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{p}\cdot \frac{b}{a}\left(p+\sqrt{p^2-a^2}\right)\\ &=\frac{ab}{2}\cdot \frac{p+\sqrt{p^2-a^2}}{p}\\ &=\frac{ab}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{a^2}{p^2}}\right). \end{aligned}
$$
したがって、
$$ S(p)=\frac{ab}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{a^2}{p^2}}\right)
$$
である。
最後に極限を求める。$p\to\infty$ のとき
$$ \sqrt{1-\frac{a^2}{p^2}}\to 1
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} \lim_{p\to\infty}S(p) &= \frac{ab}{2}(1+1)\\ &= ab \end{aligned} $$
である。
解説
この問題の中心は、双曲線の接線の公式
$$ \frac{px}{a^2}-\frac{qy}{b^2}=1
$$
を使い、$P(p,q)$ が双曲線上にある条件から $q$ を消去することである。
また、$\ell$ と $m$ の交点 $Q$ を求める際に
$$ \frac{a^2}{p-\sqrt{p^2-a^2}}=p+\sqrt{p^2-a^2}
$$
と変形できる点が計算を簡潔にする。三角形 $OQR$ は $R$ が $x$ 軸上にあるため、底辺を $OR$、高さを $Q$ の $y$ 座標として面積を求めればよい。
答え
**(1)**
$$ \ell:\ y=\frac{b}{a}x
$$
**(2)**
$$ m:\ \frac{px}{a^2}-\frac{\sqrt{p^2-a^2}}{ab}y=1
$$
**(3)**
$$ S(p)=\frac{ab}{2}\left(1+\sqrt{1-\frac{a^2}{p^2}}\right)
$$
ただし、$p>a$ である。
**(4)**
$$ \lim_{p\to\infty}S(p)=ab
$$